1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2用数学归纳法证明

当n=1时，左边=1³=1，右边=1²=1，等式成立。
假设当n=k时，等式成立，即
1³+2³+3³+...+k³=(1+2+3+...+k)²=k²(k+1)²/4，
则当n=k+1时，
1³+2³+3³+...+k³+(k+1)³=k²(k+1)²/4+(k+1)³=[(k+1)²/4]×[k²+4(k+1)]=[(k+1)²/4]×(k+2)²=(k+1)²(k+2)²/4
=(k+1)²[(k+1)+1]²/4=[1+2+3+...+k+(k+1)]²，
所以，等式也成立，
综上，对一切正整数n，等式1³+2³+3³+...+n³=(1+2+3+...+n)²都成立。

n=1时，命题显然成立
假设N=K时，命题成立N=K+1时：
1^3+2^3+3^3+...+（K+1)^3=(1+2+3+...+K)^2+（K+1)^3=k^2(k+1)^2/4+(k+1)^3
=[k^2+4(k+1)](k+1)^2/4=(k+2)^2(k+1)^2/4=(1+2+3+...+k+1)^2
所以，命题对所有正整数成立

当n=1时左边1^3=1
右边1^2=1左边=右边假设当n=k时等式成立
1^3+2^3+3^3+…k^3=（1+2+3+.+k)^2则当n=k+1时1^3+2^3+3^3+…k^3+(k+1)^3=(1+2+3+.+k)^2+(k+1)^3
1+2+3.+k=k(k+1)/2
等差数列=k^2(1+k)^2/4+(k+1)^3
=(1+k)^2(k^2/4+k+1)=(1+k)^2(k^2+4k+4)/4=(k+1)^2(k+2)^2/4=[(k+1)(k+1+1)/2]^2=(1+2+3.+k+k+1)^2
1+2+3+...k+k+1=(k+1)(k+1+1)/2
也是等差数列所以当n=k+1等式也成立所以1^3+2^3+3^3+…………n^3=（1+2+3+.+n)^2