好吧问答库 > A是m*n矩阵，B是n*s矩阵,X是n*1矩阵，证明AB=O的充要条件是B的每一列都是齐次方程组AX=O的解

A是mn矩阵，B是ns矩阵,X是n*1矩阵，证明AB=O的充要条件是B的每一列都是齐次方程组AX=O的解

2024年11月17日 16:22

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网友（1）：

设B=[b1,b2,……，bs]
那么
AB=O
<=> A[b1,b2,……，bs]=[O，O，……，O]
<=>Abi=0,(i=1……s)
即bi(i=1,2,...,s)是AX=O的解
或者是设B=(B1,B2,.....,Bs)
AB=A(B1,B2,.....,Bs)=(AB1,AB2,.....,ABs)=(0,0,....,0)
ABi=0
所以
B的列向量Bi都是AX=0的解.
以上过程步步可逆,所以
AB=0的充要条件是B的每个列向量均为齐次线性方程组AX=0的解.