高考数学空间几何 概率大题类型

（18）（本小题满分12分）

         某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：

         (Ⅰ)根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；

         (Ⅱ)已知每吨该商品的销售利润为2千元， 表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元）.若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求 的分布列和数学期望.

答案：(18)本小题主要考查频率、概率、数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分。

解：（Ⅰ）周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2,0.5和0.3.       ……3分

（Ⅱ） 的可能值为8，10，12，14，16，且

P（ =8）=0.22=0.04,

P（ =10）=2×0.2×0.5=0.2,

P（ =12）=0.52+2×0.2×0.3=0.37,

P（ =14）=2×0.5×0.3=0.3,

P（ =16）=0.32=0.09.

 的分布列为

8 10 12 14 16

P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09

……9分

F =8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4千元）       ……12分

（19）本小题主要考查空间中的线面关系，面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与逻辑能力，满分12分。

解法一：

（I）证明：在正方体中，AD′ A′D,AD′⊥AB,又由已知可得

PF‖A′D，PH‖AD′,PQ‖AB,

所以   PH⊥PF,PH⊥PQ,

所以   PH⊥平面PQEF.

所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直，                            ……4分

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知

 ，又截面PQEF和截面PQCH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQCH面积之和是

   ，是定值.

答案：（19）本小题主要考查空间中的线面关系，面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与逻辑能力，满分12分。

解法一：

（I）证明：在正方体中，AD′ A′D,AD′⊥AB,又由已知可得

PF‖A′D，PH‖AD′,PQ‖AB,

所以   PH⊥PF,PH⊥PQ,

所以   PH⊥平面PQEF.

所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直，                            ……4分

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知

 ，又截面PQEF和截面PQCH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQCH面积之和是

   ，是定值.              8分

（III）解：连结BC′交EQ于点M.

因为PH‖AD′,PQ‖AB,

所以平面ABC′D′和平面PQGH互相平行，因此D′E与平面PQGH所成角与

D′E与平面ABC′D′所成角相等.

与（I）同理可证EQ⊥平面PQGH，可知EM⊥平面ABC′D′，因此EM与D′E的比值就是所求的正弦值.

设AD′交PF于点N，连结EN，由FD=l-b知

因为AD′⊥平面PQEF，又已知D′E与平面PQEF成 角，

所以 D′E= 即  ，

解得  ,可知E为BC中点.

所以EM= ，又D′E= ，

故D′E与平面PQCH所成角的正弦值为 .

解法二：

以D为原点，射线DA、DC，DD′分别为x,y,z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D-xyz由已知得DF-l-b，故

A（1，0，0），A′（1，0，1），D（0，0，0），D′（0，0，1），

P（1，0，b）,Q(1,1,b),E(1,-b,1,0), 

F(1-b,0,0),G(b,1,1),H(b,0,1).

（I）证明：在所建立的坐标系中，可得

因为 是平面PQEF的法向量.

因为 是平面PQGH的法向量.

因为 ，

所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直                  ……4分

（II）证明：因为 ，所以  ，所以PQEF为矩形，同理PQGH为矩形.

在所建立的坐标系中可求得 

所以 ，

所以截面PQEF和截面PQCH面积之和为 ，是定值.                      8分

（III）解：由已知得 角,又 可得

                            ，

  即  

 所以  D′E与平面PQGH所成角的正弦值为

                                ……12分

某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：
(Ⅰ)根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；
(Ⅱ)已知每吨该商品的销售利润为2千元， 表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元）.若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求 的分布列和数学期望.
答案：(18)本小题主要考查频率、概率、数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分。
解：（Ⅰ）周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2,0.5和0.3. ……3分
（Ⅱ） 的可能值为8，10，12，14，16，且
P（ =8）=0.22=0.04,
P（ =10）=2×0.2×0.5=0.2,
P（ =12）=0.52+2×0.2×0.3=0.37,
P（ =14）=2×0.5×0.3=0.3,
P（ =16）=0.32=0.09.
的分布列为

8 10 12 14 16
P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09
……9分
F =8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4千元） ……12分

D′E与平面PQGH所成角的正弦值为
……12分