级数1⼀n^2的敛散性怎么证明

1、证明方法一：

un=1/n²是个正项级数，

从第二项开始1/n²＜1/（n-1）n=1/（n-1）-1/n

所以这个级数是收敛的。

2、证明方法二：

lim(1/n*tan1/n)/(1/n^2)=lim(tan1/n)/(1/n)=1；

所以1/n*tan1/n与1/n^2敛散性相同，1/n^2收敛，所以原级数收敛。

扩展资料：

判断级数敛散性的方法：

先判断这是正项级数还是交错级数

一、判定正项级数的敛散性

先看当n趋向于无穷大时，级数的通项是否趋向于零（如果不易看出，可跳过这一步）。若不趋于零，则级数发散；

若趋于零，则再看级数是否为几何级数或p级数，因为这两种级数的敛散性是已知的；

如果不是几何级数或p级数，则用比值判别法或根值判别法进行判别，如果两判别法均失效，再用比较判别法或其极限形式进行判别，用比较判别法判别，一般应根据通项特点猜测其敛散性，然后再找出作为比较的级数，常用来作为比较的级数主要有几何级数和p级数等。

二、判定交错级数的敛散性

1、利用莱布尼茨判别法进行分析判定。

2、利用绝对级数与原级数之间的关系进行判定。

3、一般情况下，若级数发散，级数未必发散；但是如果用比值法或根值法判别出绝对级数发散，则级数必发散。

比较判别法的极限形式：lim(1/n*tan1/n)/(1/n^2)=lim(tan1/n)/(1/n)=1。

所以  1/n*tan1/n与1/n^2敛散性相同，1/n^2收敛，所以原级数收敛。

是P级数的问题（P-series）。

P级数是发散级数，证明的方法，可以各式各样。

运用的缩小法；缩小后依然发散。

那么P级数肯定发散。

判定正项级数的敛散性

先看当n趋向于无穷大时，级数的通项是否趋向于零（如果不易看出，可跳过这一步）。若不趋于零，则级数发散；

若趋于零，则再看级数是否为几何级数或p级数，因为这两种级数的敛散性是已知的；

如果不是几何级数或p级数，则用比值判别法或根值判别法进行判别，如果两判别法均失效，再用比较判别法或其极限形式进行判别，用比较判别法判别，一般应根据通项特点猜测其敛散性，然后再找出作为比较的级数，常用来作为比较的级数主要有几何级数和p级数等。

比较判别法的极限形式：lim(1/n*tan1/n)/(1/n^2)=lim(tan1/n)/(1/n)=1

所以  1/n*tan1/n与1/n^2敛散性相同,1/n^2收敛,所以原级数收敛

是P级数的问题（P-series）；

P级数是发散级数，证明的方法，可以各式各样。

运用的缩小法；缩小后依然发散，

那么P级数肯定发散。

拓展资料：

极限审敛法:       

∵lim(n→∞)n*un=(3/2)^n=+∞ ∴un发散.

比值审敛法: 

un+1=3^(n+1)/[(n+1)*2^(n+1)]=3^n*3/[(n+1)*2^n*2]un+1/un=3n/(2n+2)lim(n→∞)un+1/un=3/2>1, ∴发散

根值审敛法:          n^√un=3/2*n^√(1/n)=3/2*(1/n)^(1/n)     

令t=1/n,则当n→∞时t→0,t^t→1           ∴lim(n→∞)n^√un=3/2>1,发散.

级数理论是分析学的一个分支；它与另一个分支微积分学一起作为基础知识和工具出现在其余各分支中。二者共同以极限为基本工具，分别从离散与连续两个方面，结合起来研究分析学的对象，即变量之间的依赖关系──函数。 

级数:series(英文翻译)

将数列un的项 u1，u2，…，un，…依次用加号连接起来的函数。数项级数的简称。如:u1+u2+…+un+…，简写为∑un，un称为级数的通项，记Sn=∑un称之为级数的部分和。如果当n→∞时 ，数列Sn有极限S，则说级数收敛，并以S为其和，记为∑un=S;否则就说级数发散。

级数是研究函数的一个重要工具，在理论上和实际应用中都处于重要地位，这是因为:一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数，微分方程的解就常用级数表示;另一方面又可将函数表为级数，从而借助级数去研究函数，例如用幂级数研究非初等函数，以及进行近似计算等。

证明如下：

lim(1/n*tan1/n)/(1/n^2)
=lim(tan1/n)/(1/n)
=1
所以
1/n*tan1/n与1/n^2敛散性相同，1/n^2收敛，所以原级数收敛。

拓展内容：

判定正项级数的敛散性：

1. 先看当n趋向于无穷大时,级数的通项是否趋向于零（如果不易看出,可跳过这一步）。

2. 再看级数是否为几何级数或p级数,因为这两种级数的敛散性是已知的,如果不是几何级数或p级数。

3. 用比值判别法或根值判别法进行判别,如果两判别法均失效。

4. 再用比较判别法或其极限形式进行判别,用比较判别法判别,根据通项特点猜测其敛散性然后再找出作为比较的级数,常用来作为比较的级数主要有几何级数和p级数等。

参考资料：正项级数敛散性-学术百科-知网空间

可以这样做

首先可以将分母缩小成（n-1）^2

然后展开得n^2-2n+1

由于n^2-2n+1

所以分式1/（n-1）^2>1/n^2

接着我们可以简单证出1/（n-1）^2是收敛的，，且收敛于0，根据比较原则可以得出，级数1/n^2也是收敛的。

拓展资料：

收敛级数（convergent series）是柯西于1821年引进的基本性质主要有：级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不变；两个收敛级数逐项相加或逐项相减之后仍为收敛级数；在级数前面加上有限项，不会改变级数的收敛性；原级数收敛，对此级数的项任意加括号后所得的级数依然收敛；级数收敛的必要条件为级数通项的极限为0。

参考资料：收敛级数_百度百科