因为:y1,y2,y3线性无关,
所以:y1-y3,y2-y3是线性无关的.
又因为:函数y1,y2,y3都是二阶非齐次线性方程y″+p(x)y′+q(x)y=f(x)的解,
所以:c1(y1-y3)+c2(y2-y3)是y″+p(x)y′+q(x)y=0的通解,
根据二阶线性非齐次微分方程的结构可知:
c1(y1-y3)+c2(y2-y3)+y3=c1y1+c2y2+(1-c1-c2)y3是y″+p(x)y′+q(x)y=f(x)的通解
故该非齐次方程的通解是c1y1+c2y2+(1-c1-c2)y3
其中c1、c2为任意常数
第1道,设y'=u,则u'(1+e^x)=-u,
解du/u=-dx/(1+e^x)
得lnu=ln(1+e^x)-x+C1,
即u=e^C1(1+e^x)/e^x=e^(C1-x)+e^C1.
所以y=∫udx=[1/(C1-x)]e^(C1-x)+(e^C1)x+C2.
第2道,设y'=u,则u'+2xu/(1+x^2)=x^3/(1+x^2)
积分因子M(x)=1+x^2.
所以(1+x^2)u=∫x^3dx
解得u=[(x^4)/4+C1]/(1+x^2)
故y=∫udx=(x^3)/12-x/4+(C1+1/4)*arctan(x)+C2.
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