极坐标下的二重积分计算？？？？？

2024年10月29日 08:07

有5个网友回答

网友（1）：

可以用极坐标代替直角坐标。积分结果几何上为积分函数和积分区域所围成的体积。积分区域可以无限划分为更小的区域。

极坐标下，二元函数的几何意义是相同的，即二元函数与定义域围成的体积。积分区域不确定，大部分情况下，首先给定角度，对r做积分。积分对象变复杂，因为引入了三角函数。

当化为二次积分时通常先对r积分后对θ积分。偶尔情况有变。

扩展资料

1、当区域D是圆形、扇形、环形或者它们的一部分时，而被积函数为f（x²+y²）、f（x/y）、f（y/x）时可在极坐标系中计算二重积分。

2、二重积分的计算过程中，如何选择所化的二次积分的次序是一个要点。通常可根据图形结构特点选择能使所化的二次积分较为简单的那种次序。

3、在计算二次积分时，对第一个积分变量积分时，第二个变量应视为与其无关的常数。

参考资料来源：百度百科-二重积分

网友（2）：

前面那位回答已经很清楚，我从几何意义上作一些解释：
极坐标系下的面积微元与直角坐标系下的面积微元完全不同，后者是边长分别是dx和dy的矩形，前者则是两个同心的扇形之间的部分：
从极点出发化两条射线，它们之间的夹角是 dθ，在角的一边上标出两个点，一个是 r,另一个是 r+dr，然后分别以 r 和 dr 为半径画圆弧与另一条边相交，两个圆弧之间的平面图形就是极坐标系下的面积微元，它的面积就是dS.
下面计算dS：扇形面积等于半径的平方乘以圆心角的弧度数的一半，所以这个图形的面积等于 (1/2)[(r+dr)^2-r^2]dθ=[rdr+(1/2)(dr)^2]dθ;
注意当 dr 趋于零时 (dr)^2 是高阶无穷小，因此将其忽略，得到
dS=rdrdθ

网友（3）：

rdrdθ 是进行坐标变换的产物.
dxdy=rdrdθ , 这是从直角坐标系变换到极坐标系.
其中的r是由雅可比行列式计算得出的.
也可以直接由面积公式计算, 极坐标下ds=rdθ * dr=rdrdθ

之所以只见到rdr, 是因为dθ提到前面去了

进行等量代换不一定都有几何意义的.
f(rcosθ,rsinθ)rdr这种东西的几何意义可以理解为面密度为f(rcosθ,rsinθ)时圆的面积的1/π

网友（4）：

首先值得肯定，你是一位爱思考爱钻研的同学

我大概明白了，你是想知道每一步的几何意义吧

平面直角坐标系四四方方，从几何角度解释既可以整体考虑（两个积分号）f(x,y)dxdy，又可以分开一步步考虑（一个积分号）f(x,y)dx(或dy)

至于极坐标，整体说得通，分开似乎就不行了。我想，这时只能把第一步（或者说每一步）积分理解为“满足某种形式的需要”。

最后谈一点自己的想法
数学抽象最初当然来自于具体的事物，通俗的说即生产实践。从中提炼出来之后，经过若干牛人的加工处理，数学逐渐符号化，规范化。所以有些能够给出形象的解释，有些则不能在现实生活中找到对应的存在。比如一段连续曲线的积分是面颊，而Dirichlet函数的积分就说不清楚是什么东西了（或许在物理、化学的某些领域有“意义”）我想表达的意思是，你的问题可以当作茶余饭后的“休闲话题”，倒不必刨根问底。

ps 当初我学分析（或者说高数）的时候，精神也像你这样。结果费了很多时间，没抓住所谓的重点吧，成绩平平。不过可比那些达人快乐多了，嘿嘿。阿Q一个...

网友（5）：

rdθ是切向的长度，dr是径向的，rdrdθ就是小正方形的面积。这和dxdy是
一样的，不过坐标线取得不一样。

然后转化为2次之后，就开始按θ和r分步积分，基本上就纯粹是
代数手续，再要找几何解释就比较牵强了。就算对这样比较简单的例子你能
找到每一步的几何意义，但再复杂了，就可能没有简单的几何解释了。

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