请证明：根号三是无理数

2025年03月14日 08:12

有5个网友回答

网友（1）：

1、假设根号3=p/q(p、q为互质整数）,则p^2=3q^2
所以3整除p^2,因3是质数,所以3整除p,可设p=3t,则q^2=3t^2,所以3整除q
因此p和q有公约数3,与p和q互质矛盾,所以根号3是无理数

2、设x=根号3,则有方程x^2=3

假设x^2=3有有理数解x=p/q(p、q为互质整数）,根据牛顿有理根定理p整除3,q整除1,所以p=1或3,q=1,从而x=1或3,显然x=1或3不是方程x^2=3的根,矛盾.

3、设x=根号3=p/q,(p,q)=1,所以存在整数s,t使ps+qt=1
根号3=根号3*1=根号3(ps+qt)=(√3p)s+(√3q)t=3qs+pt为整数,矛盾

拓展资料：

由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪下半叶。1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机。

参考资料：百度百科，无理数

网友（2）：

证明根号3是无理数，使用反证法
如果√3是有理数，必有√3=p/q（p、q为互质的正整数）
两边平方：3=p^2/q^2
p^2=3q^2
显然p为3的倍数，设p=3k（k为正整数）
有9k^2=3q^2 即q^2=3k^2
于是q于是3的倍数，与p、q互质矛盾
∴假设不成立，√3是无理数

网友（3）：

反证：假设根号3是有理数，则存在两个互质整数m和n使得根号3=m/n.两边平方并整理得m^2=3n^2,
于是m是3的倍数，令m=3q,
代入上式整理得：n^2=3q^2,
故n也是3的倍数，这与m,n互质矛盾。故根号3是无理数。证毕。

网友（4）：

分析：
①有理数的概念：
“有限小数”和“无限循环小数”统称为有理数。
整数和分数也统称为有理数。
所有的分数都是有理数，分子除以分母，最终一定是循环的。

②无理数的概念：无限不循环小数，可引申为“开方开不尽的数”。

③反证法的要领是假设一个明显荒谬的结论成立，然后正确地证明原假设是错误的。

解：
假设(√3)是有理数，
∵ 1＜3＜4
∴(√1)＜(√3)＜(√4)
即：1＜(√3)＜2
∴(√3)不是整数。

∵整数和分数也统称为有理数，而(√3)不是整数
∴在假设“(√3)是有理数”的前提下，(√3)只能是一个分子分母不能约分的分数。

此时假设 (√3) = m/n(m、n均为正整数且互质，二者不能再约分，即二者除1外再无公因数)

两边平方，得：

m² / n² = 3

∴m² 是质数3的倍数

我们知道，如果两个数的乘积是3的倍数，那么这两个数当中至少有一个数必是3的倍数。

∴由“m² (m与m的乘积) 是质数3的倍数”得：正整数m是3的倍数。

此时不妨设 m = 3k(k为正整数)

把“m = 3k” 代入“m² / n² = 3” ，得：

(9k²) / n² = 3

∴3k² = n²

即：n² / k² = 3

对比“m² / n² = 3“ 同理可证

正整数n也是3的倍数

∴正整数m和n均为3的倍数

这与“m、n均为正整数且互质”相矛盾。

意即由原假设出发推出了一个与原假设相矛盾的结论，

∴原假设“(√3) = m/n(m、n均为正整数且互质，二者不能再约分，即二者除1外再无公因数)”是不成立的。

∴(√3) 不能是一个分子分母不能约分的分数

而已证(√3) 不是整数

∴(√3) 既不是整数也不是分数，即(√3) 不是有理数。

∴(√3) 是无理数。

网友（5）：

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