当n=1，等式左边=1，等式右边=1*2*3/6=1，所以等式成立
假设n=m-1时，等式成立，令f(m-1)=等式左边
当n=m,等式左边=f(m-1)+m^2=(m-1)*(m-1+1)*(2m-1)/6+m^2=m/6*(2m^2-3m+1+6m)=m/6*(2m^2+3m+1)=m/6*(2m+1)*(m+1)=等式右边
所以对于正整数n，这个等式都成立。
证n=1时 1=1(1+1)(2+1)/6成立
设n=k 时成立 则n=k+1 时 1²+2²+3²+……+k²+(k+1)^2=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2=[k(k+1)(2k+1)+6(k+1)^2]/6=[(k+1)(2k^2+k+6k+6)]/6= (k+1)(k+2)(2k+3)/6=(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]/6
所以1²+2²+3²+……+n²=n×(n+1)×(2n+1)÷6
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