好吧问答库 > 设A为一个n级实对称矩阵,且|A|<0,证明:必存在实n维向量x不等于0使x✀Ax<0

设A为一个n级实对称矩阵,且|A|<0,证明:必存在实n维向量x不等于0使x✀Ax<0

2024年11月03日 12:01

有2个网友回答

网友（1）：

A的所有特征值都是实的，|A|<0说明A至少有一个特征值时负的，把它的特征向量取成x就行了

网友（2）：

证明：
因为A为一个n级实对称矩阵,
因此存在正交矩阵P满足：
P'AP=diag(a1,a2,...,an). [P'=P^-1]
其中a1,a2,...,an是A的特征值.
又因为：|A|=a1a2...an<0
所以a1,a2,...,an中必有负数.
设 a1<0. （备注：可调整P的列向量的顺序实现）
令X=P(1,0,0,...,0)'
则有：
X'AX=[P(1,0,0,...,0)']A[P(1,0,0,...,0)']
= (1,0,0,...,0)P'AP(1,0,0,...,0)'
= (1,0,0,...,0)diag(a1,a2,...,an)(1,0,0,...,0)'
= a1 < 0.
由此可知，必存在实n维向量x不等于0使x'Ax<0