a,a均是正数,求证:a2+b2⼀(a+b)2大于等于1⼀2.

由a²+b²≥2ab，a+b≥2√(ab)推出(a²+b²)/(a+b)²≥2ab/(2√ab)²这一步错了，不等式不具有这样的性质，很容易举反例说明。下面是正确的证明方法：

(a²+b²)/(a+b)²≥1/2
2(a²+b²)≥(a+b)²
a²+b²+a²+b²≥a²+2ab+b²
a²+b²≥2ab
a²-2ab+b²≥0
(a-b)²≥0
显然，最后一式恒成立，而每一式都是可逆的
所以(a²+b²)/(a+b)²≥1/2恒成立

因为a,b大于0.所以a2+b2大于等于2ab,a+b大于等于2乘以根号ab,所以a2+b2/(a+b)2大于等于2ab/2乘以根号ab的平方=2ab/4ab=1/2

呵呵,a,b>0 a/b的最小值不一定是a的最小值/b的最小值！！！！

先举个例子：1<=a<=2 1<=b<=2
a/b的最小值是？
按照你的理解是1，但是显然a/b 的最小值是1/2

正解：a2+b2/(a+b)2
＝1-2ab/(a+b)^2
ab<=(a+b/2)^2
1-2ab/(a+b)^2>=1-2/4=1/2
所以：a2+b2/(a+b)2>=1/2

这里只用了一次不等！！
对于分子分母都为正数，分母一定！分子越大，整个分数越大

一、概念不清致误
例1 下列所给的式子：①3<5; ②x<1;③a≠2;④x≥0.5;⑤x+1
其中是不等式的有（ ）.
(A)②④ (B)①②③ (C)②③④ (D)①②③④
错解:选(C).
分析:概念不清致误.要判断一个式子是不是不等式,主要看这个式子是否用“>”、“<”、“≤”、“≥”、“≠”连接。如果有，就是不等式，否则，就不是.
正解:选(D).
二、列不等式致误
例2 用不等式表示:
(1) y的3倍不大于2y+1;
(2) x与5的和不小于x的一半.
错解: (1)3y<2y+1;
(2)x+5> .
分析:错解在对“不大于、不小于”理解不正确，不大于表示小于或等于，用“≤”连接 ；不小于表示大于或等于，用符号“≥”连接.
正解：（1）3y≤2y+1；（2）x+5≥ .
三、 使用性质上的错误
例3 若a(A)acbc (C)ac2>bc2 (D)ac2≤bc2
错解：选(C).
分析：错解在忽略了c=0的情况,实际上c2≥0,因为a正解：选(D).
四、解一元一次不等式有关的错误
例4 解不等式 .

(a^2+b^2)/(a+b)^2大于等于2ab/2乘以根号ab的平方
这一过程 你把分子变小了，但同时，分母也变小了
所以分式的值，无法判断是变大还是变小

正解是将该式子倒过来得到1+2ab/(a^2+b^2)<=1+2ab/(2ab)=2
所以就得到(a^2+b^2)/(a+b)^2大于等于1/2.

A>2,B>4不能推出A/B>1/2
如A=3，b=9满足A>2,B>4,而A/B=1/3<1/2

a2+b2/(a+b)2=[(a+b)2-2ab]/(a+b)2=1-2ab/(a+b)2
而a+b大于等于2乘以根号ab
所以2ab/(a+b)2<1/2
所以1-2ab/(a+b)2>1/2
所以a2+b2/(a+b)2大于等于1/2