计算∫∫(x-y-z)ds,其中∑为平面x+y=1在第一卦限介于平面z=0及z=1之间的部分

解：

例如：

计算对面积的曲面积分∫∫〔∑〕【x-y-z】dS：

把曲面投影到yoz面，记该投影区域为Dyz，

则Dyz是矩形：0《y《1，0《z《1，

因为∑的方程是x=1-y，

所以dS=√1+(x ' y)^2+(x ' z)^2dydz

=√1+1+0dydz

=√2dydz，

把曲面积分化成二重积分得到

=∫〔0到1〕dy∫〔0到1〕【（1-y）-y-z】dz

=∫〔0到1〕【1-2y-1/2〕dz

=1-1-1/2

=-1/2。

曲线积分分为：

（1）对弧长的曲线积分 （第一类曲线积分）

（2）对坐标轴的曲线积分（第二类曲线积分）

两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy，例如：对L’的曲线积分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号。

解答过程如下：

扩展资料

重积分和定积分一样不是函数，而是一个数值。因此若一个连续函数f（x，y）内含有二重积分，对它进行二次积分，这个二重积分的具体数值便可以求解出来。

积分区域D是由  所围成的区域。

其中二重积分是一个常数，不妨设它为A。对等式两端对D这个积分区域作二重定积分。

函数的具体表达式为：f（x，y）=xy+1/8，等式的右边就是二重积分数值为A，而等式最左边根据性质5，可化为常数A乘上积分区域的面积1/3，将含有二重积分的等式可化为未知数A来求解。

如图所示：