初等数论的整除问题

第3题，第1小问：
因为 6 = 2*3，所以只需分别证明 n^3 + 5n 能被 2 和 3 整除。
n^3 + 5n = n (n^2 + 5)
若 n 是偶数，显然 n (n^2 + 5) 能被 2 整除；
若 n 是奇数，则 n^2 也是奇数，所以 n^2 + 5 是偶数，所以 n (n^2 + 5) 能被 2 整除。
下面证明 n (n^2 + 5) 能被 3 整除。
若 n 能被 3 整除，显然 n (n^2 + 5) 也能被 3 整除。
若 n 除以 3 余 1 或 2，则 n^2 除以 3 余 1，所以 n^2 + 5 能被 3 整除。
证完了。

第3题，第2小问：
因为 30 = 2 * 3 * 5，所以只需证明 n^5 - n 能被 2、3、5 整除。
n^5 - n = n(n^4 - 1) = n(n-1)(n+1)(n^2+1)
显然 n、n-1 里必有一个能被 2 整除，n、n-1、n+1 里必有一个能被 3 整除，
所以 n(n-1)(n+1)(n^2+1) 能被 2 和 3 整除。
下面证明 n(n-1)(n+1)(n^2+1) 能被 5 整除。
如果 n 除以 5 余 0 或 1 或 4，则 n、n-1、n+1 中必有一个能被 5 整除。
如果 n 除以 5 余 2 或 3，则 n^2 除以 5 余 4，于是 n^2 + 1 能被 5 整除。
证完了。

第4题：
只需证明：对任意一个整数 n，n 除以 6 的余数和 n^3 除以 6 的余数是相同的。
也就是证明：n^3 - n 能被 6 整除。
因为 6 = 2 * 3，所以只需证明：n^3 - n = n(n-1)(n+1) 能被 2 和 3 整除。
而这是显然，因为 n、n-1、n+1 里必有一个 2 的倍数和一个 3 的倍数。

第5题：
7^83 + 8^163
= 7 * 7^82 + 64 * 8^161
= 7 * (7^82 + 8^161) + 57 * 8^161
由题目的假设，前面一项中的 7^82 + 8^161 能被 57 整除，
所以整个式子能被 57 整除。