帮我找四道不等式难题，带答案。

都是 奥数 的...会不会太难？1设a,b,c是三角形的三边,求证：a2(b+c－a)+b2(c+a－b)+c2(a+b－c)≤3abc.(第6届IMO试题)
证法一 注意到a3+b3+c3－3abc =(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca ),得
3abc－[a2(b+c－a)+b2(c+a－b)+c2(a+b－c)]
=a3+b3+c3－3abc+a(b2+c2－2bc)+b(c2+a2－2ca)+c(a2+b2－2ab)
=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca ) +a(b2+c2－2bc)+b(c2+a2－2ca)+c(a2+b2－2ab)
= 12( a+b+c)[(a－b)2+(b―c)2+(c―a)2]+a(b―c)2++b(c―a)2+c(a－b)2
=12(a+b－c)(a－b)2+12( b+c－a)(b―c)2+12(a+c－b)(c―a)2.
∵a,b,c是三角形的三边,∴a+b－c >0, b+c－a >0, a+c－b >0.
而(a－b)2≥0,(b―c)2≥0,(c―a)2≥0,故原不等式成立,当且仅当a=b=c,即△ABC是正三角形时等号成立.
例2 已知a,b,c是正数, 证明：
(1)ab+c+bc+a+ca+b≥32. (1963年莫斯科数学奥林匹克试题)
(2) a2b+c+b2c+a+c2a+b≥a+b+c2. (第2届世界友谊杯数学竞赛试题)
证明 (1)∵ab+c+bc+a +ca+b－32
=2a(a+b) (c+a)+2b(a+b)(b+c)+2c(b+c)(c+a)－3(a+b)(b+c)(c+a)2(a+b)(b+c)(c+a)
= 2(a3+b3+c3)－(a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2)2(a+b)(b+c)(c+a)
= a3+b3－(a2b+ab2)+b3+c3－(b2c+bc2)+b3+c3－(c2a+ca2)2(a+b)(b+c)(c+a)
= (a+b)(a－b)2+(b+c)(b－c)2+(c+a)(c－a) 22(a+b)(b+c)(c+a)≥0, ∴ab+c+bc+a +ca+b≥32.
(2)不难证明a2b+c+b2c+a+c2a+b=(a+b+c)(ab+c+bc+a +ca+b)－(a+b+c),利用这个恒等式得到不等式ab+c+bc+a +ca+b≥32和a2b+c+b2c+a+c2a+b≥a+b+c2等价.
例3 设x, y, z是正数, 则y2－x2z+x+z2－y2x+y+x2－z2y+z≥0. (W.Janous猜想)
证明 设 u = y2－x2z+x+z2－y2x+y+x2－z2y+z, v= y2－z2z+x+z2－x2x+y+x2－y2y+z,
则u－v = z2－x2z+x+x2－y2x+y+y2－z2y+z = z―x+x―y+y―z = 0,
又u+v = (x2－y2)(1y+z－1z+x)+(y2－z2)(1z+x－1x+y)+(z2－x2)(1x+y－1y+z)
= (x2－y2)x－y(y+z)(z+x) + (y2－z2)y－z(z+x)(x+y) + (z2－x2)z-x(x+y)(y+z)
= (x+y)(x－y)2(y+z)(z+x) + (y+z)(y－z)2(z+x)(x+y) + (z+x)(z－x)2(x+y)(y+z)≥0,
所以,u=v>0. 从而y2－x2z+x+z2－y2x+y+x2－z2y+z≥0.
例4正实数x,y,z满足xyz≥1,证明：x5－x2x5+y2+z2+y5－y2y5+z2+x2+z5－z2z5+x2+y2≥0. (第46届IMO试题)
证明 因为xyz≥1,所以
x5－x2x5+y2+z2≥x5－x2�6�1xyzx5+(y2+z2)�6�1xyz=x4－x2yzx4+yz(y2+z2)≥2x4－x2(y2+z2)2x4+(y2+z2)2,类似地,可得
y5－y2y5+z2+x2≥2y4－y2(z2+x2)2y4+(z2+x2)2, z5－z2z5+x2+y2≥2z4－z2(x2+y2)2z4+(x2+y2)2.
令a=x2,b=y2,c=z2,原不等式化为证明2a2－a(b+c)2a2+(b+c)2+2b2－b(c+a)2b2+(c+a)2+2c2－c(a+b)2c2+(a+b)2≥0
�8�6a(a－b)+a(a－c)2a2+(b+c)2+b(b－c)+b(b－a)2b2+(c+a)2+c(c－a)+c(c－b)2c2+(a+b)2≥0
�8�6∑cyc(a-b)(12a2+(b+c)2-12b2+(c+a)2)≥0�8�6∑cyc(a-b)2(c2+c(a+b)+a2-ab+b2(2a2+(b+c)2)(2b2+(c+a)2))≥0.