请问祖冲之研究出的圆周率，约率和密率是什么意思？

关于圆周率π，祖冲之的贡献有二：

（1）3．1415926<π<3．1415927；

（2）用22/7作为约率，355/113作为密率。

这些结果是刘徽割圆术之后的重要发展。刘徽从圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即按12，24，48，96，…，1536，…，的顺序逐次算出六边形、十二边形、……的面积，这些数值逐步地逼近圆周率。用这个方法可以无限精密地逼近圆周率，但每一次都比圆周率小。

祖冲之的结果（1）从上下两个方面给出了圆周率的误差范围。这个事实容易看出，不必多讲。下面我们将详细讲结果（2）。从 355/113=3．1415929…看出，355/113惊人精密地接近圆周率，准确到六位小数。这一发现比欧洲人早了一千年。法国人奥托（Valenlinus Otto）在1573年才发现这个分数。有些人认为那时的人们喜欢用分数来计算，这把问题看简单了。其中孕育了不少道理，这道理可用来推算天文上的许多现象。这就无怪祖冲之祖孙三代都是算历的专家了。这个约率和密率涉及到“用有理数最佳逼近实数”的问题。
祖冲之求出用分数表示的两个圆周率值。密率是分子、分母都在1000以内的分数形式的圆周率最佳近似值。

约率就是大概（22/7，3.1428571428……）
密率就是比约率更精确点（355/113，3.14159292035……）