求曲线y눀=4x （0≤x≤1）的弧长？？？

y²=4x (0≤x≤1)
即y=2√x (0≤x≤1)和y= -2√x (0≤x≤1)
所以计算出y=2√x (0≤x≤1)的弧长再乘以2就能得到总的弧长
y' =1/√x (0≤x≤1)
那么由公式可以知道
总弧长（曲线的弧长公式：s=∫√(1+y'^2)dx|(a,b).）
L=2 *∫(0到1) √(1+y'² ) dx
=2 *∫(0到1) √(1+1/x) dx 注意dx=2√x *d√x
=4 *∫(0到1) √(1+x) d√x
令√x=t,
则
L=4 *∫(0到1) √(1+t²) dt
而由分部积分法得到
∫ √(1+t²) dt
=√(1+t²) * t - ∫ t*d√(1+t²)
=√(1+t²) * t - ∫ t²/√(1+t²) dt
=√(1+t²) * t - ∫ √(1+t²) dt + ∫ 1/√(1+t²) dt
那么移项得到
∫ √(1+t²) dt=√(1+t²) * t/2 +1/2 * ∫ 1/√(1+t²) dt
=√(1+t²) * t/2 + 1/2 *ln|t+√(1+t²)|
代入上下限0和1,得到
∫(0到1) √(1+t²) dt
=0.5*(√2 +ln|1+√2| )
所以弧长
L=4 *∫(0到1) √(1+t²) dt
=2(√2 +ln|1+√2| )