数学家高斯在上学时曾经研究过这样一个问题，1+2+3+…+10=？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+n

2024-10-31 08:21:50

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（1）∵1×2+2×3+3×4=m×3×4×5=

×4×5=20，
∴1×2+2×3+…+100×101=

×100×101×102=343400；

（2）∵1×2=n（1×2×3-0×1×2）=

（1×2×3-0×1×2），
2×3=x（2×3×4-1×2×3）=

（2×3×4-1×2×3），
3×4=n（3×4×5-2×3×4）=

（3×4×5-2×3×4），
…
n（n+1）=

[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]，
∴1×2+2×3+…+n（n+1）=

[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+…+n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]，
=

n（n+1）（n+2）；

（3）根据（2）的计算方法，1×2×3=n（1×2×3×4-0×1×2×3）=

（1×2×3×4-0×1×2×3），
2×3×4=x（2×3×4×5-1×2×3×4）=

（2×3×4×5-1×2×3×4），
…
n（n+1）（n+2）=

[n（n+1）（n+2）（n+3）-（n-1）n（n+1）（n+2）]，
∴1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=

（1×2×3×4-0×1×2×3+2×3×4×5-1×2×3×4+…+n（n+1）（n+2）（n+3）-（n-1）n（n+1）（n+2）]，
=

n（n+1）（n+2）（n+3）．
故答案为：（1）343400；（2）

n（n+1）（n+2）；（3）

n（n+1）（n+2）（n+3）．