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广东省汕头市2008年高一年级新课程统一测试数学试题2008.6
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分为150分，考试用时120分钟。
参考公式：
锥体的体积公式 ，其中 是锥体的底面积， 是锥体的高．
如果事件 、 互斥，那么 ．
第Ⅰ卷 选择题 (共50分)
一、 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 某班学生体检中检查视力的结果如下表，从表中可以看出，全班学生视力数据的众数是
视力 0.5以下 0.7 0.8 0.9 1.0 1.0以上
占全班人数百分比 2％ 6％ 3％ 20％ 65％ 4％
A.0.9 B.1.0 C.20％ D.65％
2．过点M( ， )、N( ， )的直线的斜率是
A．1 B．2
C．－1 D．
3．若输入8，则右边程序框图执行后输出的结果是
A．0.2 B．0.3
C．0.7 D．1
4．函数 是
A．周期为 的奇函数 B．周期为 的偶函数
C．周期为 的奇函数 D．周期为 的偶函数
5. 某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则随机抽查一件成品抽得是正品的概率为
A．0.99 B．0.98
C．0.97 D．0.96
6. “保护环境，从我做起”，如图是从参加环保知识竞赛的学生中抽出部分学生，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图，则估计这次环保知识竞赛的及格率（ 分为及格）为
A．0.06 B．0.075 C．0.75 D．0.55
7. 将函数 的图象沿x轴向左平移 个单位长度，
平移后的图象如右图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是
A． B．
C． D．
8. 一个算法的程序框图如右图所示，若该程序输出的结果为 ，则判断框中可以填入的条件是
A． B．
C． D．
9. 已知 是定义在 上的奇函数，
当 时， 的图象如图所示，
则不等式 的解集为
A． C．
B． D．
10．已知 ， ，若 为满足 的一个随机整数，则 是直角三角形的概率是
A． B． C． D．
第Ⅱ卷 非选择题 (共100分)
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
11．甲、乙两名运动员进行射击测试，各射击5次，每次射击命中
环数分别如下：
甲：7，8，6，8，6； 乙：7，8，7，7，6
则甲的方差是____ ， 乙的方差是____ ，说明 射击发挥更稳定.
12．向右图所示的正方形随机投掷飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为 。
13．地震震级 （里氏震级）的计算公式为 （其中 是被测地震最大振幅，常数 是“标准地震”的振幅），5级地震给人的震感已比较明显，今年5月12日我国四川发生的汶川大地震震级为 级，则这次地震的最大振幅是5级地震最大振幅的_________倍.
14．给出下列四个命题：
①若全集 ， ， ，则集合 为 ；
②函数 的定义域为 ；
③若△ 的内角 满足 ，则 = ；
④函数 的零点为 .
其中，真命题的编号是 .（写出所有真命题的编号）
三、解答题（本大题共6小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15、（本小题满分12分）
世界奥林匹克运动会的会徽是奥运五环标志，由蓝、黄、黑、
绿、红5种颜色的奥运圆环从左至右套接而成。盒子中装有6个奥
运环，蓝色、黄色、黑色和绿色的奥运环各1个，红色奥运环2个，
这些圆环除颜色外完全相同.
（Ⅰ）若从盒子中随机取出1个圆环，求盒子中剩下的5个圆环
恰好能组成奥运五环标志的概率；
（Ⅱ）若已经从盒子中取出蓝色、黄色、黑色圆环各1个，现再从盒子剩下的圆环中无放回地依次取出2个，求取出的5个圆环恰好能组成奥运五环标志的概率.
16、（本小题满分12分）
设向量 ， ， ，
求 的取值范围.
17、（本小题满分14分）
已知四棱锥 的直观图和三视图如右图所示，根据图中的信息完成下列问题.
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求三棱锥 的体积；
（Ⅲ）请尝试在直观图中构造一个平面
，使得 ，并进行作图与证明.
18、（本小题满分14分）
已知函数
（Ⅰ）判断函数 在区间 上的单调性并用定义证明；
（Ⅱ）若 ，求 的取值范围.
19、（本小题满分14分）
定义运算 ，记函数
（Ⅰ）已知 ，且 ，求 的值；
（Ⅱ）在给定的直角坐标系中，用“五点法”作出函数 在
一个周期内的简图；
（Ⅲ）求函数 的对称中心、最大值及相应的 值.
20. （本小题满分14分）
已知直线 和圆 ，设与直线 和圆 都相切且半径最小的圆为 ，直线 与 相交于 两点，且 上存在点 ，使得 ，其中 .
（Ⅰ）求 的标准方程； （Ⅱ）求直线 的方程及相应的点 坐标.
汕头市2008年高一年级新课程数学统一测试答案
二、 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．选（B） 本题考查学生对众数的理解以及读数表的能力）
2．选（A）解： （本题考查斜率公式）
3．选（C）解： （本题考查程序框图的条件结构）
4．选（A）解： （本题考查三角函数的异名诱导公式、周期及奇偶性）
5．选（D） 解：P=1－0.03－0.01=0.96 （本题考查互斥事件、对立事件的概率公式）
6．选（C） 解：10×(0.015+0.025+0.03+0.005)= 0.75 （本题考查频率分布直方图的有关知识）
7. 选（C） 解： ,图像平移前过点 ,周期 , ,
故 （本题考查三角函数图象的平移变换及识图求解析式的方法）
8. 选（A） 解：i=1，sum=0，s=0； i=2，sum=1， ；
i=3，sum=2， ；
i=4，sum=3， ；故条件选 （本题考查程序框图的循环结构）
9. 选（A） 解： 等价于 ,当 ， ；当 ， ，
由图可得 （本题考查奇函数的性质及数形结合的方法）
10．选（C） 解： ，可得 ，满足要求的 值有7个，
是直角三角形的情况有：
① ，可得 ；② ，可得 ，或 ；
③ ，可得 （舍去），满足 是直角三角形的 值有3个,故得 （本题综合考查向量的有关运算、古典概型以及分类讨论的思想）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
11． __0.8___ ___0.4__ __乙___. （本题考查平均数、方差的运算）
12．
解：正方形的面积为4，阴影部分的面积为 ，故概率为 （本题考查几何概型）
13． ______1000______.
解：由 ， ，即 （本题考查指对数的有关运算）
14． ①④ .
解：②函数 的定义域为 ；
③若△ 的内角 满足 ，由 ， ，可得
（本题考查集合的韦恩图、函数的定义域，同角三角函数关系等）
三、解答题（本大题共6小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15、（本小题满分12分）
（本题考查学生运用枚举法求解古典概型以及分析具体问题、解决问题的能力）
解：（Ⅰ）从盒子中随机取出1个圆环有6种不同的等可能结果，即蓝、黄、黑、绿、红1、红2，
记“剩下的5个圆环恰好能组成奥运五环标志”为事件 ， --------2分
则事件 要求取出的为1个圆环必须为红色，包含红1、红2两个结果， --------3分
由古典概型， --------5分
（Ⅱ）由已知，盒子剩下的圆环中有1个绿色和2个红色，如表格，从中无放回地依次取出2个包含6种不同的等可能结果，
绿 红1 红2
绿 (绿，红1) (绿，红2)
红1 (红1，绿) (红1，红2)
红2 (红2，绿) (红2，红1)
-------7分
记“取出的5个圆环恰好能组成奥运五环标志”为事件 ， --------8分
则事件 需取出两个圆环为一绿一红，包含(绿，红1)、(绿，红2)、(红1，绿)、(红2，绿)4种结果，--------10分
由古典概型， --------12分
16、（本小题满分12分）
（本题综合考查向量的坐标运算、三角函数的差角公式以及二次函数闭区间的最值问题）
解：由已知， --------1分
则
--------3分
--------5分
令 ，则 为开口向上，
对称轴为 的抛物线，在 上先减后增 ---------7分
当 时， ，即 ； --------9分
当 时， ，即 --------11分
的取值范围为 --------12分
17、（本小题满分14分）
（本题综合考查立体几何中有关三视图、线面平行垂直关系以及几何体的表面积体积公式）
解：由图中的信息可知，四棱锥 的底面 为正方形，边长为2，且 ，
，顶点 在底面的射影为 的中点.
（Ⅰ）取 的中点为 ，连结 ，则 平面 ，且
平面 ， --------3分
又 ， ，
平面 --------5分
（Ⅱ） -----9分
（Ⅲ）（答案不唯一）分别取 的中点为 ，连结 ，
则平面 为所构造的平面 ，满足 平面 ，证明如下： --------10分
在 中， 为中位线， ，又 平面 ， 平面 ----13分
平面 . --------14分
18、（本小题满分14分）
（本题考查分段函数、函数单调性的证明及应用、以及分类讨论的思想）
解：（Ⅰ）当 时， ，则 在区间 上为增函数， ------1分
证明：任取 ，则 ， ----3分
，又因为 在 递增，所以
，即 -------5分
在区间 上为增函数 --------6分
证法二：任取 ，则
由幂函数 在 上为增函数可知
，即 ，则 ，
， 在区间 上为增函数.
（Ⅱ）若 ，则 ，即 ， ，则 ----9分
若 ，则 ，即 ，
，即 ，则 --------12分
综上所述， --------14分
19、（本小题满分14分）
（本题综合考查三角函数的倍角公式、化单函数的方法、求值、五点作图法以及三角函数性质的研究）
解： --------2分
（Ⅰ） --------5分
解法二：由 ， ，且 ，解得
解法三：由 ， ，
，即 ，则 ，解得
（Ⅱ） ，运用 “五点法”先列表后描点连线，
作出函数 在一个周期内的图象如下，
（Ⅲ） 函数 的对称中心为 ，且当 时，
令 ，由 ，解得
函数 的对称中心为 -------12分
当 ，即 ， -------14分
20. （本小题满分14分）
（本题综合考查直线与圆的有关知识以及向量的有关运算等）
解：（Ⅰ） 圆 ，即圆心 ，半径 --------1分
圆心 到直线 的距离 ，则⊙M的半径 ，------3分
⊙M的圆心 在经过点 且 垂直的直线上，即在直线 上
设圆心 ，则由 ，解得 或 --------5分
其中只有 满足到直线 的距离为半径 ，即符合题意
⊙M的标准方程为 --------7分
（Ⅱ）由 ，即点 代入⊙M： ，，得 ，-----8分
或 ，且 --------9分
，且 ， ， ------10分
设直线 ，即 --------11分
圆心 到直线 的距离 ，解得 -------12分
则当点 时， ；
当点 时， . --------14分
解法二： ，且 ， ， ，
设直线 ， 与⊙M的交点
由 ，得 ，即
，即点
点 代入⊙M： ，解得
当 时，点 ；
当 时，点 .
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