求极限lim x→∞ (x⼀(1+x))^x

lim x→∞，（1+x）^（1/x）的极限是1。

解题过程如下：

lim x→∞,(1+x)^(1/x)

=lim x→∞,e^[ln((1+x)^(1/x))]

=lim x→∞,e^[(1/x)×ln(1+x)]

其中e的指数部分lim x→∞,(1/x)×ln(1+x)=lim x→∞,[ln(1+x)]/x

∞/∞型，使用洛必达法则，上下同时求导，得到

lim x→∞,[1/(1+x)]/1=0

原式=lim x→∞,e^0=1

扩展资料

单调有界准则：单调增加（减少）有上（下）界的数列必定收敛。

在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数 ，并且要满足极限是趋于同一方向 ，从而证明或求得函数 的极限值。

①利用函数连续性：

（就是直接将趋向值带入函数自变量中，此时要要求分母不能为0）

②恒等变形：

当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母，可以通过下面几个小方法解决：

第一：因式分解，通过约分使分母不会为零。

第二：若分母出现根号，可以配一个因子使根号去除。

第三：以上的解法都是在趋向值是一个固定值的时候进行的，如果趋向于无穷，分子分母可以同时除以自变量的最高次方。（通常会用到这个定理：无穷大的倒数为无穷小）

原式=e^lim x·ln( x/(x+1))
=e^lim x·ln(1 - 1/(x+1) )
=e^lim x·( -1/(x+1) ) 【等价无穷小代换：x→∞时 -1/(x+1)→0，则ln(1 - 1/(x+1) )～-1/(x+1)】
=e^lim - x/(x+1)
=e^lim -1/(1 + 1/x )
=e^( -1/(1 + 0)
=e^( -1)
=1/e