为什么说收敛数列一定有界？

如果你取一个数列an = 1/n，它显然收敛，而且最大值在n = 1的地方。
可以补充这么一个看起来很怪异，但是细细一想又很显然的引理：
对于给定的数列，假若任给一个实数p，总存在一个正整数N，使得|aN| > p，那么进一步地，对于任意给定的N0，一定可以找到这样一个N*，使得它既满足|aN| > p，又满足N* > N0。
换句话说，要是数列某个地方趋于无穷大了，这个地方必然在无穷远处。
对于任意数列，任意给一段有限长区间，则这段区间上必有界。

原因很显然。数列不像函数，数列能取到的值是有限的。所以只要给出一个有限长的区间，我总能一个一个顺着找到最大值最小值。因而数列要出现无穷大的趋近，只能在无穷远出，因为此时这段区间上有无穷多个点，从而不能一个一个去找最值了。

函数则不一样。所以收敛函数有界的说明中是说，如果函数在无穷远处收敛，那么必然存在一个足够接近与无穷远的区间，使得该区间上函数有界；如果函数在某点收敛，那么必然存在一个该点的临域，使得函数在该区间上有界。

首先，你说的是收敛数列一定有界，这个肯定没错；
然后，你举的反例却是函数x分之1，这样已经矛盾了
其实函数，书上说得很清楚，是局部有界。

很显然的事实。
假设数列{a_n}收敛于A
那么根据收敛的定义，存在一个自然数N，当n>N时，|a_n-A|<1，即|a_n|<|A|+1。
所以数列{a_n}有界，|a_n|<=max{a_1,
a_2,
...,
a_N,
|A|+1}。
也就是说前面有限个(1到N)当然有界，后面无穷多个(N+1开始)被极限控制住。

收敛的数列是有界的，你举的是函数
数列1/n
0<1/n<1
当然有界
数列就是特殊的函数，特殊在定义域只取自然数，
0，1，2，·····
可函数1/x定义域是x不等于0，
如果你把定义域限定在【1，正无穷】，图像如何，那就有界了