高数 当x→0时,3^x-1是x的 答案是同阶但非等价无穷小 求过程

2024-10-31 08:18:41
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网友(1):

3^x-1和x在x->0时均为无穷小量
要比较等价性,即求极限lim(x->0)(3^x-1)/x
该极限为0/0型,可采用洛必达法则,分子分母同时求导:
则lim(x->0)(3^x-1)/x=lim(x->0) 3^xln3 =ln3
据定义:3^x-1是x的同阶无穷小量
另外:
该极限值为1的时候3^x-1是x等价无穷小量
该极限值为0的时候3^x-1是x高阶无穷小量

由ln3>1,故3^x-1是x的同阶但非等价无穷小量