如何速记“积化和差”“和差化积”公式

降幂降角加括号。

相同变扣否变赛。

后面一角定乾坤。

加上减去不必说。

第一句：降幂降角加括号。表示积化和差时从乘积变成和差，降幂了。那么前面要乘1/2，并且加一个括号，也就是

第二句：相同变扣否变赛。意思是如果在积化和差时左侧是sinsin或者coscos这种同名形式，那么后面要变为两个cos；反之，如果是sincos或者cossin这种异名形式，那么后面要变为两个sin。也就是

第三句，后面一角定乾坤，意思是说在积化和差时积的第二个三角函数决定了和差中的加号或减号。如果是sinsin，cossin这种形式，乘积第二项是sin函数，那么和差取差；如果是sincos,coscos这种形式，乘积第二项是cos函数，那么和差取和。实际上很多三角函数中sin都和减号在一起，cos都和加号在一起。于是乎就变成了

第四句：加上减去不必说。意思是说：和差的三角函数里有两角和和两角差，这就不用说了吧。于是就变成了

扩展资料

对于积化合差公式来说，首要的原则是，等号左边的若异名，等号右边全是sin，等号左边同名，等号右边全是cos，其次，右边中间的和与差取决于左边第二项，若是cos，则是+，若是sin，则是-，最后记得sin*sin时要添上一个负号。

对于和差化积公式来说，第一，若等号左边全是sin，则右边异名，若等号左边全是cos，则等号右边同名，第二，等号左边中间的正负号决定了右边第二项，若是正，则是cos，若是负，则是sin，然后可以根据第一条原则写出完整的右边式子，最后记得cos-cos要添一个负号。

为推导和差化积，将变量x、y都改写，如下式所示：

推导和差化积：从两项三角函数之和出发，将改写好的变量带入后三角展开，可以看到有一项乘积能被抵消掉，便可完成推导，如下式所示：

通过三角函数的值域判断。正弦和余弦的值域都是[-1，1]，其积的值域也应该是[-1，1]，而和差的值域却是[-2，2] ，因此乘以2是必须的。

也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2。

扩展资料：

积化和差最后的结果是和或者差；若两项相乘，后者为cos项，则积化和差的结果为两项相加；若不是，则结果为两项相减。

若两项相乘，一项为sin，另一项为cos，则积化和差的结果中都是sin项；若两项相乘，两项均为sin，则积化和差的结果前面取负号。

无论是正弦函数还是余弦函数，都只有同名三角函数的和差能够化为乘积。这一点主要是根据证明记忆，因为如果不是同名三角函数，两角和差公式展开后乘积项的形式都不同，就不会出现相抵消和相同的项，也就无法化简下去了。

参考资料来源：百度百科--积化和差

参考资料来源：百度百科--和差化积

1、积化和差口诀：积化和差得和差，余弦在后要相加；异名函数取正弦，正弦相乘取负号。

2、和差化积公式口诀：正弦＋正弦,正弦在前；正弦－正弦,正弦在后；余弦＋余弦,余弦并肩；余弦－余弦，余弦靠边。积化和差跟和差化积是逆向的不需再记口诀了，口诀记多了也容易混。

这公式很重要的，学数学专业较常用的(作常识了)。记忆容易，不必死记，记住cos(A+B),COS(A-B)及sin的展开即可，用的时候脑中想这几个展开即可，简单加减，再乘除1/2即可，用时1、2秒就算出。

扩展资料

和差化积公式：包括正弦、余弦、正切和余切的和差化积公式，是三角函数中的一组恒等式，和差化积公式共10组。在应用和差化积时，必须是一次同名（正切和余切除外）三角函数方可实行。若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次。

积化和差最后的结果是和或者差；若两项相乘，后者为cos项，则积化和差的结果为两项相加；若不是，则结果为两项相减；若两项相乘，一项为sin，另一项为cos，则积化和差的结果中都是sin项；若两项相乘，两项均为sin，则积化和差的结果前面取负号。

其实根本就不用死记硬背那么多公式，只要记住和角公式（比另外两个好记多了）就行了。积化和差公式和和差化积公式是可以由和角公式推导出来的，也花不了多少时间。当然了如果你觉得这样推导太慢了，那就直接背记忆口诀吧

正弦和角公式

余弦和角公式

正切和角公式

图片来自百度百科

推导举例

1、积化和差

sina*sinb = 2*sina*sinb/2 = (cosa*cosb+sina*sinb+sina*sinb-cosa*cosb)/2

                                          = [ cos(a-b)-cos(a+b) ]/2

思路：因为是用和角公式作为中介，肯定是要乘以2才能凑出两对来使用和角公式。然后以sin*sin或者cos*cos的形式出现的只有余弦和角公式，采用加一个减一个的做法就凑出 来了。

2、和差化积

cosx+cosy = cos[ (x+y)/2 + (x-y)/2 ]+cos[ (x+y)/2 - (x-y)/2 ]

                     接下来使用和角公式打开，抵消就得到

                  = 2*cos[ (x+y)/2 ] * cos[ (x-y)/2 ]

思路：相加要变成相乘必然是要把 x 和 y 改写成括号里加或减的形式才能用和角公式打开，主 要核心做法还是加一个减一个的方法。

总结：数学公式都是相通的，最好的记忆方法就是记住基础公式或者中介公式。这样的话，就 算忘记了也能花很少的时间自己推导出来。这样做固然会在考试时浪费一点时间（不会很多），但是好处也是明显的。既能大大降低你需要死记硬背的公式的数量，又能推导出正确的公式，不至于考试时因记忆模糊，写错公式。对其他理科学科公式的推导也能养成良好的习惯。

积化和差
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
和差化积
sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
对于积化合差公式来说，首要的原则是，等号左边的若异名，等号右边全是sin，等号左边同名，等号右边全是cos，其次，右边中间的和与差取决于左边第二项，若是cos，则是+，若是sin，则是-，最后记得sin*sin时要添上一个负号。
对于和差化积公式来说，第一，若等号左边全是sin，则右边异名，若等号左边全是cos，则等号右边同名，第二，等号左边中间的正负号决定了右边第二项，若是正，则是cos，若是负，则是sin，然后可以根据第一条原则写出完整的右边式子，最后记得cos-cos要添一个负号。