已知x+y+z=1⼀x+1⼀y+1⼀z=1,求证：xyz中至少有一个是1

由于x+y+z=1/x+1/y+1/z=1
通分即(yz+xz+xy)/(xyz)=1,xyz-(yz+xz+xy)=0
于是xyz-(yz+xz+xy)+1-1=0
即xyz-(yz+xz+xy)+x+y+z-1=0
(x-1)(y-1)(z-1)=0
于是(x-1),(y-1),(z-1)中至少有一个是0
xyz中至少有一个是1

x+y+z=1

1/x+1/y+1/z=1得

xy+yz+zx=xyz
2xy+2yz+2zx=2xyz
xy+yz+yz+zx+xy+zx=
y(1-y)+z(1-z)+x(1-x)=2xyz
x+y+z-x^2-y^2-z^2=2xyz
x^2+y^2+z^2+2xyz-1=0
(x-1)(y-1)(z-1)=0

所以x,y,z中至少一个为1

这类题一般运用反证法比较简单,从反面证得出与题目相反的结论便可!
在该题中假设x y z中没有一个是1 因为x+y+z=1/x+1/y+1/z=1那么(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)=3+x/y+x/z+y/x+y/z+z/x+z/y=1
又因为x/y＋y/x大于或等于2
x/z+z/x大于或等于2
y/z+z/y大于或等于2
所以(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)大于或等于9 这与(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)=3+x/y+x/z+y/x+y/z+z/x+z/y=1不符
所以假设x y z中没有一个是1的结论是错误的
然后得出与之相反的结论即x y z中至少有一个是1

反证法 正难则反
你试试
假设xyz都不是1 推出错误结论

牛。