推导基数效用论中消费者均衡的条件

基数效用论的消费者均衡（一）消费者均衡由于边际效用递减，因而物品的边际效用的大小以及总效用的增减，同物品数量有着密切的关系。物品拥有量或消费量越多，边际效用越小，当边际效用等于零时，总效用达到最大值。以后，该物品的消费量如果继续增加，则会产生负效用，总效用也会绝对地减少，这说明，在既定的收入和价格水平下，消费者对某种物品的消费并不是越多越好，而是有一个限度的问题，那么，消费者如何将自己有限的货币收入花费在各种不同商品的购买上以求得最大的满足呢？这就是一个消费者均衡的问题。为了说明消费者均衡，首先必须作下述假定：（1）消费者的偏好是既定的，对各种商品的效用和边际效用是已知的，不会发生变动。（2）消费者的收入是既定的且全部用于购买商品和劳务。（3）消费者购买的商品价格是已知的。（4）每单位货币的边际效用对消费者都相同。在上述假定条件下，西方经济学家指出，消费者均衡的条件是：消费者用单位货币所购买的各种商品的边际效用都相等，即消费者所购买的各种商品的边际效用之比等于它们的价格之比。消费者均衡可以用边际效用决定需求价格和边际效用递减规律来进行说明。为了分析的方便，我们假定消费者在市场上只购买两种商品X和Y，由于收入和价格都是既定的，增加X的购买量就必须减少Y的购买量，购买量的变化，必然引起它们的边际效用的变化。这就是说，如果消费者发现多花一元钱在一种商品上取得的增加的效用（边际效用）不如多花一元钱在另一种商品取得的增加的效用大，他就会改变主意，把取得边际效用较小的那种商品上的花费转移到较大的边际效用的商品上，由于花费转移，原来取得边际效用较小的商品，现在可能变得具有较大的边际效用了，而原来取得边际效用较大的商品，现在可能变得具有较小的边际效用了。如果后者的边际效用小于前者，那么，就会再次发生花费转移的情形，这样，消费者根据边际效用的大小，自由地改变花费的方向，最后，必须达到一种最优的花费状态，他所花费的每一元钱都取得相等的边际效用，或者每种商品的边际效用之比等于他们的价格之比，总效用达到最大。消费者均衡的条件可用公式表示为： (4.6)上式中MUX和MUY分别表示X、Y两种商品的边际效用，MUm表示每一元钱的边际效用（每单位货币带来的边际效用）。（二）消费者均衡的数学证明：实际上，一个消费者的行为总会受到限制，如货币收入的限制，票证定额的限制，等等。有限制条件的效用最大化，在数学上是条件极值问题，即有约束的最优化（constrained optimization）。这样消费者均衡问题就可以用数学的方法证明如下：1.代入法如果消费者只购买两种产品X，Y，约束条件为货币收入I，可用代入法求解如下：目标函数 max (4.7)约束条件 (4.8)将式（4.8）移项并整理，可得： （4.9）将式（4.9）代入（4.7），可得： (4.10)为求得TU最大，令式（4.10）的一阶导数等于0，即： (4.11)如果式（4.10）的二阶导数 即： (4.12)则效用最大化的充分必要条件成立。式(4.11)的经济含义是：花在产品X，Y上最后一元钱的边际效用相等。如果花最后一元钱所取得的边际效用，产品X大于产品Y，追求效用最大化的消费者将增加X的消费量，减少Y的消费量。由于边际效用递减法则，新增X消费量的边际效用下降，而所减Y消费量的边际效用上升，X，Y的边际效用最终会趋于相等。2.拉格朗日乘数法消费者均衡的条件也可以采用拉格朗日乘数法（Lagrange Multiplier Approach）求解。设消费者购买X，Y两种产品，货币收入为I，则目标函数 max TU = f (X，Y) (4.13)约束条件 s.t. (4.14) 令 为求L最大，其必要条件为：即：则： (4.15)至于求L最大的充分条件，比较复杂，这里从略。为证明 为货币收入的边际效用 分别求式（4.15）和（4.14）的微分 (4.16)式（4.16）的经济含义是：花在产品X，Y上最后一元所取得的边际效用都等于一元货币的边际效用。如果后者大于前者，消费者将减少消费，宁愿多留一些货币；如果后者小于前者，消费者将增加消费，少留一些货币；最终，两者将趋于相等。