设多面体顶点数V，面数F，棱数E。剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图）,求所有面内角总和Σα 一方面，在原图中利用各面求内角总和。 设有F个面，各面的边数为n1,n2，…，nF，各面内角总和为： Σα = [(n1-2)·180度+(n2-2)·180度+…+(nF-2) ·180度] = (n1+n2+…+nF -2F) ·180度 =(2E-2F) ·180度 = (E-F) ·360度 （1） 另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和。 设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)·180角，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·360度，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·180度。 所以，多面体各面的内角总和： Σα = (V-n)·360度+(n-2)·180度+(n-2)·180度 =（V-2）·360度（2） 由(1)(2)得： (E-F) ·360度=（V-2）·360度 所以 V+F-E=2.
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