为什么一个式子能有两个值？

这个式子是无值的：
1。就像你所说的，这个式子的项数是无穷的，那么就不可能知道他的最后一项是1还是-1，项数是奇数还是偶数，所以无法求出值来，所以你得1，0的计算方法就存在问题，1，0结果是不对的------可以这么理解；
2。从高等数学角度来说，这是一个极限问题，是一个无穷级数，因为是发散的，非收敛的，所以不存在值。
3。你提到的1 + x + x^2 + x^3 + ..... = 1/(1- x)，这个式子是n项等比数列求和公式，[1-x^(n+1)]/(1-x)取极限得到的，不过其成立的前提条件是|x|<1，这里x=-1,所以不能用它来计算，得到1/2是不对的。注意到当n-->+无穷 时，x^(n+1)的极限不存在，说明了s是无值的。
ps:2是最直接最正当的的理解角度。

您好：
这个式子的项数是无穷的，我们并不知道它的最后一项到底是1还是-1.所以您的计算方法欠妥，并不是最后一组都是-（1-1）或（1-1），所以有两种情况。

因为无穷多项，所以讨论不清楚，一般认为没有和
像第一个和，如果我们把每一项写成(-1)^(n+1)的话，所谓的S就是这个数列的和
这个数列的和S是没有极限的，因为是发散的……只有收敛的数列求和才有意义

那是你自以为的把S=1-(1-1)-(1-1)-(1-1)……的结果说成1了，它等于1的前提就是要有奇数个1。而等天0则是有偶数个1/

结合律在无限和时并不总是成立的。
楼主的和是不确定的，用比较严格的话说：这个级数不收敛。