已知函数f(x)=(ax2+x)ex,其中e是自然对数的底数,a∈R.(1)当a>0时,解不等式f(x)≤0;(2)当

2024年11月27日 12:44
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网友(1):

(1)因为ex>0,所以不等式f(x)≤0即为ax2+x≤0,
又因为a>0,所以不等式可化为x(x+

1
a
)≤0,所以不等式f(x)≤0的解集为[?
1
a
,0]

(2)当a=0时,方程即为xex=x+2,由于ex>0,所以x=0不是方程的解,所以原方程等价于ex-
2
x
-1=0,
令h(x)=ex-
2
x
-1,因为h′(x)=ex+
2
x2
>0
对于x≠0恒成立,
所以h(x)在(-∞,0)和(0,+∞)内是单调增函数,
又h(1)=e-3<0,h(2)=e2-2>0,h(-3)=e?3?
1
3
<0,h(-2)=e-2>0,
所以方程f(x)=x+2有且只有两个实数根,且分别在区间[1,2]和[-3,-2]上,所以整数t的所有值为{-3,1}.
(3)f′(x)=[ax2+(2a+1)x+1]ex
①当a=0时,f′(x)=(x+1)ex,f′(x)≥0在[-1,1]上恒成立,当且仅当x=-1时取等号,故a=0符合要求;
②当a≠0时,令g(x)=ax2+(2a+1)x+1,
因为△=(2a+1)2-4a=4a2+1>0,所以g(x)=0有两个不相等的实数根x1,x2
不妨设x1>x2,因此f(x)有极大值又有极小值.
若a>0,因为g(-1)g(0)=-a<0,所以f(x)在(-1,1)内有极值点,故f(x)在[-1,1]上不单调.
若a<0,可知x1>0>x2
因为g(x)的图象开口向下,要使f(x)在[-1,1]上单调,
因为g(0)=1>0,所以必须满足
g(1)≥0
g(?1)≥0
,即
3a+2≥0
?a≥0
,所以?
2
3
≤a≤0.
综上可知,a的取值范围是[?
2
3
,0
].