设向量组a1,a2,a3是线性无关，证明向量组a1+a2,2a2+a3.a3-3a1也是线性无关的

用定义

设k1（a1+a2）+k2（2a2+a3）+k3（a3-3a1）=0

重新分组：a1(k1-3k3) + a2(k1+2k2) + a3(k2+k3)=0

因为a1，a2，a3线性无关，所以有方程组：k1-3k3=0; k1+2k2=0; k2+k3=0

....

行列式：

1 0 -3

1 2 0

0 1 1

不等于0，所以方程只有零解，即k1，k2，k3都等于0，所以向量组a1+a2，2a2+a3，a3-3a1线性无关。

定理

1、向量a1，a2， ···，an(n≧2)线性相关的充要条件是这n个向量中的一个为其余(n-1)个向量的线性组合。

2、一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量。

3、两个向量a、b共线的充要条件是a、b线性相关。

4、三个向量a、b、c共面的充要条件是a、b、c线性相关。

5、n+1个n维向量总是线性相关。

设向量组a1-a2，a2 a3，a3-a1线性相关
则有全不为0的k1,k2,k3,使得
k1(a1 a2 a3) k2(a2 a3) k3a3=0
则有
k1a1 (k2 k1)a2 (k1 k2 k3)a3=0
这与向量组a1，a2，a3线性无关矛盾,所以假设不成立
因此向量组a1 a2 a3,a2 a3,a3也线性无关

用定义
设k1（a1+a2）+k2（2a2+a3）+k3（a3-3a1）=0
重新分组：a1(k1-3k3) + a2(k1+2k2) + a3(k2+k3)=0
因为a1,a2,a3线性无关,所以有方程组：k1-3k3=0; k1+2k2=0; k2+k3=0
....
行列式：1 0 -3
1 2 0
0 1 1
不等于0，所以方程只有零解，即k1,k2,k3都等于0，所以向量组a1+a2,2a2+a3,a3-3a1线性无关.