线性代数中，如何求一个已知矩阵的秩？

通过初等行变换法，将矩阵化成阶梯矩阵，阶梯矩阵非零行(零行就是全是零的行，非零行就是不全为零的行)的个数就是秩。

初等变换的形式：

1、以P中一个非零的数乘矩阵的某一行；

2、把矩阵的某一行的c倍加到另一行，这里c是P中的任意一个数；

3、互换矩阵中两行的位置。

一般来说，一个矩阵经过初等行变换后就变成了另一个矩阵，当矩阵A经过初等行变，换变成矩阵B时可以证明：任意一个矩阵经过一系列初等行变换总能变成阶梯型矩阵。

扩展资料：

矩阵的秩的性质：

1、设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。

2、矩阵的行秩，列秩，秩都相等。

3、初等变换不改变矩阵的秩。

4、矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};

5、当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。

通过初等行变换(就是一行的多少倍加的另一行，或行交换，或者某一行乘以一个非零倍数)把矩阵化成行阶梯型(行阶梯形就是任一行从左数第一个非零数的列序数都比上一行的大。

形象的说就是形成一个阶梯，)。这样数一下非零行(零行就是全是零的行，非零行就是不全为零的行)的个数就是秩。

根据定义求解，定义如下：

设有向量组A（A可以含有限个向量,也可以含无限多个向量）,如果在A中能选出r个向量a1,a2,...ar,满足

（1）a1,a2,...ar线性无关；

（2）A中任意r+1个向量线性相关。

则向量组a1，a2，...，ar称为向量组A的最大线性无关向量组（简称最大无关组），数r称为向量组A的秩，只含零向量的向量组没有最大无关组，规定他的秩为0求解过程用相似矩阵的相似变化求解。

解：第三行减去第一行，得：

1，1，1，a；
0，0，0，1；
0，0，0，1-a。

第二行的-(1-a)倍加到第三行，得：

1，1，1，a；
0，0，0，1；
0，0，0，0。

这是一个行阶梯形矩阵，非零行的行数为2，所以矩阵的秩为2。

扩展资料：

矩阵的秩的定理：

若A~B，则R(A)= R(B)。

根据这一定理，为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换成行阶梯形矩阵，易见该矩阵最高阶非零子式的阶数。显然行阶梯形矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩。这就给出求矩阵秩的方法。

如果向量组：

（I）α1，α2，...，αsα1，α2，...，αs可以由。

（II）β1，β2，...，βtβ1，β2，...，βt线性表出，则r(II)≥r(I)r(II)≥r(I)。

解释为：能表出其他向量组，则其他向量组必然在自己的范围内，如果II的秩没有I大，则撑不起I张起的空间。这是很酷的一个定理。

r(A) = A的行秩（矩阵A的行向量组的秩）= A的列秩（矩阵A的列向量组的秩）。

初等变换的向量组的秩不变。

第三行减去第一行，得
1 1 1 a
0 0 0 1
0 0 0 1-a

第二行的-(1-a)倍加到第三行，得
1 1 1 a
0 0 0 1
0 0 0 0

这是一个行阶梯形矩阵，非零行的行数为2，
所以矩阵的秩为2。