求助 什么情况需要单位化什么时候正交化

以二次型矩阵A的特征矩阵为基础，利用正交化法进行变换，思路是正交矩阵（AAT=E)的转置等于逆，利用正交矩阵使A对角化(以特征值为对角线元素的对角矩阵)。

注意：正交矩阵不同列内积均为0，也就是列向量正交，且每列元素平方和均为1，也就是单位化，矩阵列向量正交不代表矩阵就是正交矩阵。

分两种情况：二次型矩阵A是实对称矩阵(必可对角化)，如果其特征值λ互异，那么对应特征向量必正交(对角称矩阵的性质)，由其构成的矩阵只需单位化(列向量分别除以模)，就可得到正交变换矩阵；

否则，二次型矩阵A相同特征值对应的特征向量，取基础解系，需要且只需对基础解系施密特正交变换(正交化)，然后与其它互异特征值对应的特征向量一起构成矩阵，并单位化。

扩展资料：

由于把一个正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组，所以，上述问题的关键是如何由一个线性无关向量组来构造出一个正交向量组，我们以3个向量组成的线性无关组为例来说明这个方法。

施密特正交化

施密特正交化（Schmidt orthogonalization）是求欧氏空间正交基的一种方法。

从欧氏空间任意线性无关的向量组α1，α2，……，αm出发，求得正交向量组β1，β2，……，βm，使由α1，α2，……，αm与向量组β1，β2，……，βm等价，再将正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组，这种方法称为施密特正交化。

矩阵的来源：

矩阵正式作为数学中的研究对象出现，则是在行列式的研究发展起来后。逻辑上，矩阵的概念先于行列式，但在实际的历史上则恰好相反。

日本数学家关孝和（1683年）与微积分的发现者之一戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（1693年）近乎同时地独立建立了行列式论。其后行列式作为解线性方程组的工具逐步发展。1750年，加布里尔·克拉默发现了克莱姆法则 。

矩阵的现代概念在19世纪逐渐形成。1800年代，高斯和威廉·若尔当建立了高斯—若尔当消去法。1844年，德国数学家费迪南·艾森斯坦（F.Eisenstein）讨论了“变换”（矩阵）及其乘积。1850年，英国数学家詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特（James Joseph Sylvester）首先使用矩阵一词。

英国数学家阿瑟·凯利被公认为矩阵论的奠基人。他开始将矩阵作为独立的数学对象研究时，许多与矩阵有关的性质已经在行列式的研究中被发现了，这也使得凯利认为矩阵的引进是十分自然的。

他说：“我决然不是通过四元数而获得矩阵概念的；它或是直接从行列式的概念而来，或是作为一个表达线性方程组的方便方法而来的。”他从1858年开始，发表了《矩阵论的研究报告》等一系列关于矩阵的专门论文，研究了矩阵的运算律、矩阵的逆以及转置和特征多项式方程。

凯利还提出了凯莱-哈密尔顿定理，并验证了3×3矩阵的情况，又说进一步的证明是不必要的。哈密尔顿证明了4×4矩阵的情况，而一般情况下的证明是德国数学家弗罗贝尼乌斯（F.G.Frohenius）于1898年给出的。

参考资料来源：百度百科--单位化法

参考资料来源：百度百科--正交化

说的差不多了.老李的<最后冲刺超越135分>中，关于二次型的一章中有总结:1.要求P为正交阵的情况,限于二次型,即实对称矩阵,需要正交化.化为标准型必单位化 普通矩阵对角化所求的P是可逆矩阵即可,不要正交化.是否要单位化需要看题目要求2.考试中,一般都会有提示的,是否要正交矩阵,还是一般的可逆矩阵

首先明确，不同特征值对应的特征向量必正交。然后，以三阶为例，重根λ1=λ2，λ3=C，
这时λ1、λ2重根，考虑是否需要施密特正交，如果λ1、λ2对应的特征向量乘一下，内积为0就不需要施密特了，如果内积不为0则要先将λ1、λ2对应的特征向量正交化一下，最后三个特征向量一起单位化。
小结：特征值有重根需要在单位化之前考虑一下重根特征值对应的特征向量是否需要施密特正交化
回到题主所问，这类问题一般出现在让你求正交矩阵P，使 PTAP=∧ 或者 P逆AP=∧ (PT：T是上标，PT即P的转置矩阵，∧：对角矩阵，P逆：P的逆矩阵)
这时的正交矩阵就需要单位化

从考研角度答的，如有误，请指正!

一般题目给出实对称矩阵的话，又是让你对角化，那肯定正交了。一般的矩阵进行对角化只需要一个可逆矩阵而已。如果题目给出了实对称矩阵，又给出了原矩阵和特征向量，特征值的联系，那明显的也不需要正交化，直接反推回去就好了（这个地方要注意）

当特征值为重根时，求出的基础解系中的特征向量对应位置相乘 然后累加为0 则不需要施密特正交化，否则需要施密特正交化