采样信号的重构及内插公式

如果理想采样满足采样定理，即信号的最高频率成分不超过折叠频率

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那么理想采样后的频谱就不会发生混叠，这样就可以将采样信号 通过一个理想低通滤波器，这个理想低通滤波器的频率特性为

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所示，采样信号通过这个滤波器后，就可以滤出原信号频谱来:

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因此，在输出端可以得到恢复后的原模拟信号x_a(t)。当然，一个理想低通滤波器是不可能实现的，但可以用一定精度的网络去逼近它。

分析采样信号 通过这个理想低通波器H(ω)的响应过程。已知理想低通滤波器的冲击响应为

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因为 ，所以上式又可改写为

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根据褶积定理，输出x_a(t)应为 与滤波器冲击响应h(t)的褶积，即

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将(4-1-4)代入，得

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根据(4-3-2)式，上式中

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称为内插函数。其特点为:在采样点nΔt上，函数值为1;其余采样点上，函数值为零。于是，我们得到采样内插公式

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知道了采样点nΔt上的采样值x(nΔt)，由式(4-3-4)就可以内插出任何t时刻的信号值x_a(t)，因此式(4-3-4)称为采样内插公式。式(4-3-4)又是由采样信号x(nΔt)恢复原连续信号x_a(t)的数学表达式，它是一个离散褶积和，即原连续信号x_a(t)是离散采样信号x(nΔt)与理想低通滤波器的冲击响应h(t)的褶积和。在每一个采样点上，由于只有该采样值所对应的内插函数不为零，所以保证了各采样点上的信号值不变，而采样点之间的信号则是由各采样值内插函数的波形互相叠加而成，见图4-3-1，这也正是理想低通滤波器的响应过程。式(4-3-4)证明了，只要满足采样定理，连续信号就可以用它的采样值完全代表，而不损失任何信息。