2的n次方与n的阶乘那个大？怎么证明？

当n=1时，n！＜2^n；当n≥2时，n！＞2^n。

证明：

当n=1时，

2^1=2，1!=1

∴2^n＞n！。

当n≥2时，

n!/2^n=(2/2)x(3/2)x(4/2)x(5/2)x......(n/2)

∵(2/2)＝1，（3/2)＞1，（4/2)＞1....(n/2)＞1

∴(2/2)x(3/2)x(4/2)x(5/2)x......(n/2)＞1

∴n！＞2^n。

综上：

当n=1时，n！＜2^n；当n≥2时，n！＞2^n。

扩展资料：

阶乘的性质

（1）除 1和0 之外的所有数的阶乘都是偶数。

（2）≥5≥5 的阶乘末尾至少一个 0。

（3）≥6≥6 的阶乘都能被 9 整除，阶乘的各位数字之和也能被 9 整除。

次方运算法则

同底数幂相乘，底数不变，指数相加；(a^m)*（a^n）=a^(m+n)。

同底数幂相除，底数不变，指数相减；(a^m)÷（a^n）=a^(m-n)。

幂的乘方，底数不变，指数相乘；(a^m)^n=a^(mn)。

积的乘方，等于每一个因式分别乘方；(ab)^n=(a^n)(b^n)。

当n=1时，
2^1=2,1!=1
∴2^n＞n！
当n≥2时，
n!/2^n=(2/2)x(3/2)x(4/2)x(5/2)x......(n/2)
∵(2/2)＝1，（3/2)＞1，（4/2)＞1....(n/2)＞1
∴(2/2)x(3/2)x(4/2)x(5/2)x......(n/2)＞1
∴n！＞2^n
综上：
当n=1时，n！＜2^n
当n≥2时，n！＞2^n

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当n≥4时，2^n