垂径定理用式子如何表达

垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

垂径定理的实质可以理解为：一条直线，如果它具有两个性质：(1)经过圆心；(2)垂直于弦，那么这条直线就一定具有另外三个性质：(3)平分弦，(4)平分弦所对的劣弧，(5)平分弦所对的优弧(如图所示)．

如果将定理的条件与结论一个换一个或两个换两个，就可得到九个逆命题，并能证明它们都是真命题．教科书把较重要的作为推论l，而其余的作为练习题。总之，一条直线，如果它五个性质中的任何两个成立，那么它也一定具有其余三个性质．

推论1 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧，

推论1的实质是：一条直线(如图)

(1)若满足：i)经过圆心，ii)平分弦，则可推出:iii)垂直于弦，iv)平分弦所对的劣弧，v)平分弦所对的优弧．

(2)若满足：i)垂直于弦，ii)平分弦。则可推出：iii)经过圆心，iv)平分弦所对的劣弧，v)平分弦所对的优弧．

(3)若满足；i)经过圆心，ii)平分弦所对的一条弧，则可推出：iii)垂直于弦，iv)平分弦，v)平分弦所对的另一条弧．

推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等．

如图中，若AB‖CD，则AC＝BD

注意：在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径作为辅助线。

三、例题分析：

例1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，过A，B向CD引垂线，垂足分别为E，F，求证：CE=DF。

证明：过O作OM⊥CD于M，
∴CM=DM，
∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴AE//OM//FB，
又∵O是AB中点，
∴M是EF中点（平行线等分线段定理），
∴EM=MF，
∴CE=DF。

说明：此例是垂径定理及平行线等分线段定理相结合构成的命题。由于C、D两点是轴对称点，欲证CE=DF，那么E，F也必是轴对称点，由于E，F是垂足，那么E，F也应关于某条垂线成轴对称点，这样，这两个知识的结合部分仍是含有共同的对称轴。

例2．已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，⊙O的半径等于6cm，O点到BC的距离为2cm，求AB的长。

分析：因为不知道△ABC是锐角三角形，还是钝角三角形（由已知分析，△ABC不会是直角三角形，因为若是直角三角形，则BC为斜边，圆心O在BC上，这与O点到BC的距离为2cm矛盾），因此圆心有可能在三角形内部，也可能在三角形外部，所以需分两种情况进行讨论：

（1）假若△ABC是锐角三角形，如图，由AB=AC，
可知， ，∴点A是弧BC中点，
连结AO并延长交BC于D，由垂径推论
可得AD⊥BC，且BD=CD，这样OD=2cm，
再连结OB，在Rt△OBD中OB=6cm，
可求出BD的长，则AD长可求出，
则在Rt△ABD中可求出AB的长。

（2）若△ABC是钝角三角形，如图，
连结AO交BC于D，先证OD⊥BC，
OD平分BC，再连结OB，由OB=6cm，
OD=2cm，求出BD长，然后求出AD的长，
从而在Rt△ADB中求出AB的长。

略解：（1）连结AO并延长交BC于D，连结OB，
∵AB=AC，
∴ ，∴AD⊥BC且BD=CD，
∴OD=2，BO=6，
在Rt△OBD中，由勾股定理得：BD===4，
在Rt△ADB中，AD=OA+OD=8，
由勾股定理可得：AB===4(cm)

（2）同（1）添加辅助线求出BD=4，
在Rt△ADB中，AD=AO-OD=6-2=4，
由勾股定理可得：AB===4(cm)，
∴AB=4cm或4cm。

说明：凡是与三角形外接圆有关的问题，一定要首先判断三角形的形状，确定圆心与三角形的位置关系，防止丢解或多解。

例3．已知如图：直线AB与⊙O交于C，D，且OA=OB。 求证：AC=BD。

证明：作OE⊥AB于点E，
∴CE=ED，
∵OA=OB，
∴AE=BE，
∴AC=BD。

请想一下，若将此例的图形做如下变化，将如何证明。
变化一，已知：如图，OA=OB， 求证：AC=BD。

变化二：已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，求证：AC=BD。

说明：这三道题的共同特点是均需要过点O作弦心距，利用垂径定理进行证明，所变化的是A，B两点位置。

例4．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1cm，EB=5cm，∠DEB=600，求CD的长。

解：作OF⊥CD于F，连结OD，
∵AE=1，EB=5，
∴AB=6，∴OA==3，
∴OE=OA-AE=3-1=2，
在Rt△OEF中，
∵∠DEB=600，
∴∠EOF=300，∴EF=OE=1，
∴OF==，
在Rt△OFD中，OF=，OD=OA=3，
∴DF===(cm)，
∵OF⊥CD，∴DF=CF，
∴CD=2DF=2(cm)

说明：因为垂径定理涉及垂直关系，所以就可出现与半径相关的直角三角形，求弦长，弦心距，半径问题，常常可以利用弦心距、半径和半弦组成一个直角三角形，用其性质来解决问题，因而，在圆中常作弦心距或连结半径作为辅助线，然后用垂径定理来解题。
参考资料：http://learning.sohu.com/training/sizhong/test/czsx/tbjx.htm