求由摆线x＝a（t-sint）,y=a(1-cost)的一拱(0≦t≦2π)与x轴所围成的图形面积

答案为3πa²

解题过程如下：

S=∫|y|dx

=∫a(1-cost)dx （∵y=a(1-cost)≥0,其中a>0）

又∵x=a(t-sint)

∴dx=a(1-cost)dt

S=∫(0,2π) a²(1-cost)²dt

=a²∫(0,2π) (1-cost)²dt

=a²∫(0,2π) (1+cos²t-2cost)dt

=a²∫(0,2π) [1+(1+cos2t)/2-2cost]dt

=a²∫(0,2π) (3/2+cos2t/2-2cost)dt

=a²[3t/2+sin2t/4-2sint]|(0,2π)

=3πa²

扩展资料

摆线具有如下性质：

1．它的长度等于旋转圆直径的 4 倍。尤为令人感兴趣的是，它的长度是 一个不依赖于π的有理数。

2．在弧线下的面积，是旋转圆面积的三倍。

3．圆上描出摆线的那个点，具有不同的速度——事实上，在特定的地方它甚至是静止的。

4．当弹子从一个摆线形状的容器的不同点放开时，它们会同时到达底部。

x=r*(t-sint)； y=r*(1-cost)r为圆的半径， t是圆的半径所经过的弧度（滚动角），当t由0变到2π时，动点就画出了摆线的一支，称为一拱。

S=∫|y|dx

=∫a(1-cost)dx （∵y=a(1-cost)≥0,其中a>0）

又∵x=a(t-sint)

∴dx=a(1-cost)dt

S=∫(0,2π) a²(1-cost)²dt

=a²∫(0,2π) (1-cost)²dt

=a²∫(0,2π) (1+cos²t-2cost)dt

=a²∫(0,2π) [1+(1+cos2t)/2-2cost]dt

=a²∫(0,2π) (3/2+cos2t/2-2cost)dt

=a²[3t/2+sin2t/4-2sint]|(0,2π)

=3πa²

解题思路：

先观察x=a(t-sint)  在t∈[0,2π]单调增，从而很容易得出x取值范围是[0,2πa]。

再看y=a(1-cost)  在t∈[0,2π]先增后减，分界点在t=π，在t=0和t=2π时，y的值都是0。

根据以上所说，就可以画出大致的图形啦，注意图形需要经过(0,0),(2πa,0)，且在x∈[0,2πa]是先上升再下降，即可。

扩展资料

常用积分公式：

1）∫0dx=c 

2）2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

7）∫cosxdx=sinx+c

8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c

11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c

12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c

13）∫secxdx=ln|secx+tanx|+c

14）∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c

15）∫1/√(a^2-x^2) dx=(1/a)*arcsin(x/a)+c

16) ∫sec^2 x dx=tanx+c;

17) ∫shx dx=chx+c;

18) ∫chx dx=shx+c;

19) ∫thx dx=ln(chx)+c;

符号不好输入，直接上图~

悬赏低了点 很难啊