好吧问答库 > 已知sinX⼀X是F(x)的一个原函数，求x*f(x)dx的不定积分。f(x)是F(x)的导数。

已知sinX⼀X是F(x)的一个原函数，求x*f(x)dx的不定积分。f(x)是F(x)的导数。

2024年11月15日 22:53

有5个网友回答

网友（1）：

sinX/X是F(x)的一个原函数

得到F（x）=（xcosx-sinx）/x^2
f(x)是F(x)的导数
所以∫x*f(x)dx=∫xdF(x)=xF（x）-∫F（x）dx=（xcosx-sinx）/x-sinx/x+C=（xcosx-2sinx）/x+C

网友（2）：

解：因sinx/x是f(x)的一个原函数，则sinx/x=∫f(x)dx
即f(x)=(sinx/x)'=(cosx*x-sinx)/x^2
又∫x*f'(x)dx=∫x*d[f(x)]
=x*f(x)-∫f(x)dx[分部积分法]
=x*[(cosx*x-sinx)/x^2]-(sinx/x)+C
=cosx-(2sinx/x)+C.

网友（3）：

用分部积分法吧
∫ x*f(x)dx=∫ xdF(x)=xF(x)-∫ F(x)dx=x(sinx/x)′-sinx/x+C=(xcosx-2sinx)/x+C

网友（4）：

用分部积分法
先把f(x)拿到dx里面去，即原式={xd(F(x))}的积分
然后分部就可了哈

网友（5）：

∫xf(x)dx=∫xd(F(x))=xF(x)-∫F(x)dx=xF(x)-sinx/x+C