求xy✀+y=lnx的通解

像 f(x)y'' + g(x)y'＝h(x) 这种形式的微分方程，除了套用通解公式外，一般都可以在方程两边乘以某个函数t(x)，凑成 [ u(x)y' ] ' ＝v(x) 的形式，而本题则直接可凑成乘积的导数形式。

解：

xy'' + y' -ln(x)＝0
==> xy'' + y' ＝ln(x)
==> ( xy' ) ' ＝ln(x)
==> xy' ＝∫ ln(x) dx
==> xy' ＝∫ ln(x) dx
==> xy' ＝x ln(x) - x + C₁
==> y' ＝ ln(x) - 1 + C₁/x
==> y ＝∫ [ ln(x) - 1 + C₁/x ] dx

==> y ＝x ln(x) - x －x + C₁ln(x) + C₂
==> y ＝( x+C₁ ) ln(x) - 2x + C₂
其中C₁、C₂为任意常数

解：
由xy'+y=lnx得
d(xy)/dx=lnx
$d(xy)/dx=$lnxdx
xy=xlnx-$x(lnx)`dx
xy=xlnx-x+c
y=lnx-1+c/x
所以 xy'+y=lnx的通解是y=lnx-1+c/x

不管用什么方法，首先要做的是化简方程。左边的xy'+y不是一个常系数线性方程，但它有一个特点，就是y的1阶导前面的系数就是x的1次方，y的0阶导前面系数就是x0次方（也就是常数），这样的方程，y的n阶导前面系数就是x的n次方，称为欧拉方程。它有一种固定的方法，就是换元，令t=lnx，然后dy/dx=dy/dt×dt/dx=1/x dy/dt，于是，xy'=dy/dt；还可以证明任意正整数n，y对x的n阶导再乘以x的n次方，等于y对t的n阶导。
最终方程化为dy/dt+y=t
下面就简单了，先求出这个方程的解y=y(t)，再把t换成lnx就得到y=y(x)的解。
①如果常规方法，就是初等积分法求出齐次方程dy/dt+y=0的通解y=Ce^-t=C/x（C∈R，我就不写具体过程了），然后猜一个非齐次方程的特解出来加上。可以猜非齐次方程的特解是y=at+b，代入方程，有a+at+b=t，所以a=1，b=-1，特解是y=t-1=lnx-1.
最终结果，y=C/x+lnx-1（x>0）。
②常数变易法。既然齐次方程的通解为Ce^-t，那么猜非齐次方程的通解应该是C(t)e^-t（C不是常数了，是一个关于t的函数）。然后带回方程有C'(t)e^(-t)-C(t)e^(-t)+C(t)e^(-t)=t于是C'(t)=te^t，做个积分就有C(t)=e^t(t-1)+C，最终y=e^t(t-1)e^(-t)+Ce^-t=(t-1)+Ce^-t换为x表达式为
y=lnx-1+C/x和上面的常规方法结果完全相同。

大概就是这样，其中有一些过程我没展示，比如齐次方程怎么用初等积分法解，这些如果有什么不清楚的，可以追问。另外不止这两种方法，还有别的方法，比如积分因子法、楼下的凑全微分方法等等，就不说了。