A秩为r的n阶实对称矩阵证A是半正定矩阵充要条件是存在r行n列的秩为r的实矩阵B，使A=B✀B

我们一步一步来.
首先对于实数域上的列向量X, 有X'X ≥ 0, 且等号成立当且仅当X = 0.
由这一点我们可以证明, 对实矩阵B, 有B'B的秩R(B'B) = B的秩R(B).
方法是考虑两个线性方程组BX = 0与B'BX = 0, 证明二者其实是同解的, 于是系数矩阵的秩相等.
一方面BX = 0, 自然有B'BX = B'(BX) = 0, 另一方面B'BX = 0, 有(BX)'BX = X'B'BX = 0, 也有BX = 0.
有了上面两个结论, 我们可以证明原题的充分性.
A是半正定的, 因为对任意X, 有X'AX = X'B'BX = (BX)'BX ≥ 0. A的秩为r, 因为R(A) = R(B'B) = R(B).

必要性, A是秩为r的半正定矩阵, 因此存在可逆矩阵P, 使标准型C合同变换为A.
即有A = P'CP, 而C为对角线上为r个1和n-r个0的对角阵.
我们取D为r×n的矩阵, 具有分块形式(E 0), 则R(D) = r, 且D'D = C, 于是A = P'D'DP = (DP)'DP.
取r×n矩阵B = DP, 有A = B'B, 且由P可逆, R(B) = R(D) = r. B满足条件.