高等数学问题，ln(1+n)<1+1⼀2+1⼀3+..+1⼀n<1+lnn怎么证明，只能用定积分

先考虑由函数y=1/x，x=1, x=n+1, y=0所围成的面积
但在区间[i,i+1], 有：S（i）=∫[i,i+1]dx/x<1/i
由定积分的性质知：
∑[i=1,n+1]S(i)=∑[i=1,n+1]∫[i,i+1]dx/x=∫[1,n+1]dx/x=ln(1+n)<∑[i=1,n+1]1/i=1+1/2+…+1/n
同时在区间[i,i+1], 有：S（i）=∫[i,i+1]dx/x>1/(i+1)
由定积分的性质知：
∑[i=1,n]S(i)=∑[i=1,n]∫[i,i+1]dx/x=∫[1,n]dx/x=ln(n)>∑[i=1,n]1/(i+1)=1/2+…+1/n+1/(n+1)
∴1+1/2+1/3+..+1/n<1+1/2+1/3+..+1/n+1/(n+1)<1+ln(n)
总之：ln(1+n)<1+1/2+1/3+..+1/n<1+ln(n) 得证。

积分在某种意义上就是求和，所以中间的式子1+1/2+1/3+..+1/n等价于∫1到n（1/x）dx=㏑n,所以1+lnn>中间的部分，而对于左边的部分，因为㏑x函数为单调递增函数，所以㏑n+1>㏑n;

分左右两部分证明。先证左边式子：取函数y=1/x,将区间[1,n+1]分成n段，此时x=1对应y=1,x=2对应y=1/2，以此类推，最后x=n对应y=1/n，此时作图，可以观察出ln(1+n)=sum(x=1->x=n+1)(1/x)dx<1+1/2.....+1/n，由此得证；再证右边式子：左右两边消去1，取函数y=1/x ，类似方法得证1/2+1/3+....+1/n