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2007年荆门市高一数学竞赛试题

一、 选择题：每小题6分，共36分。将答案代号填入题后的括号内。
1. 已知全集U=R,且A=｛x｜｜x－1｜>2｝,B=｛x｜x －6x+8<0｝，则( A)∩B等于（ ）
A.[－1,4] B. (2,3) C. D.(－1,4)
2. 函数 的部分图象如右图所示，则 的解析式可能是 （ ）
A．
B．
C．
D．
3. 设有两个命题，p：不等式｜x｜+｜x+1｜＞a的解集为R；q：函数f（x）＝log（7－3a）x在（0，+∞）是增函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，那么实数a的取值范围是 （ ）
A．〔1，2） B.（2， 〕 C．〔2， 〕 D．（1，2〕�
4. 已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn。则满足不等式|Sn－n－6|< 的最小整数n是 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5. 函数 的值域为 （ ）
A． B． C． D．
6. 当 时，下面四个函数中最大的是 （ ）
A. B. C. D.

二、 填空题：每小题9分，共54分。将答案填在题后横线上。
7. 已知 ，且 ，则 的值是____________________。
8. 若函数 与 互为反函数，则 的单调递增区间是 。
9. 函数f定义在正整数集上，且满足f(1)＝2007，f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝n2f(n)，（n>1），则f(2007)的值是_________________。

10. 已知 ，把数列 的各项排成三角形状如右图所示；记 表示第 行中第 个数，则 。
11. 已知 是定义在R上的函数，且 ，若 ，则 的值为 。
12. 已知函数 的图象经过点A（0，1）、
时， 的最大值为 ，则 的解析式为 ＝ 。

三、 解答题：每小题20分，共60分。解答应写出必要的文字说明、运算过程或推理步骤。
13.（本小题满分20分）
已知 .
（I）求 的值；
（Ⅱ）求 的值.

14.（本小题满分20分）
已知数列 中各项为：
12、1122、111222、……、 、 ……

（Ⅰ）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积.
（Ⅱ）求这个数列前n项之和Sn .

15.（本小题满分20分）
设二次函数 满足下列条件：
①当 时， 的最小值为0，且 成立；
②当 时， ≤2 +1恒成立。
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的解析式；
（Ⅲ）求最大的实数m(m>1),使得存在实数 ,只要当x∈ 时，就有 成立。

2007年荆门市高一数学竞赛试题 参考答案
1．C 解：全集 且
∴( A)∩B = ，选C.
2. B 解：由 = 0排除A；对于 有 ，排除C；由 为偶函数图象关于y轴对称，排除D. ∴选B。
3.A 解：记A＝{a｜不等式｜x｜+｜x+1｜＞a的解集为R}，B＝{a｜f（x）＝log（7－3a）x在（0，+∞）上是增函数}，由于函数y＝｜x｜+｜x+1｜的最小值是1，∴A＝{a｜a＜1}.由于f（x）＝log（7－3a）x在（0，+∞）上递增，∴7－3a＞1，即a＜2，∴B＝{a｜a＜2}.�
又p或q为真，p且q为假，∴p与q中有且仅有一个正确，即a的取值范围是〔（ RA）∩B〕∪〔（ RB）∩A〕，而（ RA）∩B＝〔1，2），（ RB）∩A＝ 故选A.
4.C 解：由递推式得：3(an+1－1)=－(an－1)，则{an－1}是以8为首项，公比为－ 的等比数列，∴Sn－n=(a1－1)+(a2－1)+…+(an－1)= =6－6×(－ )n，∴|Sn－n－6|=6×( )n< ，得： ，∴满足条件的最小整数 ，故选C。
5.D 解： 的定义域为 则可令 ，
则
因 ，则 故选D
6.C解：因为 ，所以 。于是有 ， 。又因为 ，即 ，所以有 。因此， 最大。故选C.
7. 2 解：∵
∴
8.
9.
解：由题f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝n2f(n)， f(1)＋f(2)＋…＋f(n-1)＝(n－1)2f(n－1)。∴f(n)＝n2f(n)－(n-1)2f(n-1) ∴f(n)＝ f(1)
∴f(2007)＝
10. 解：各行数的个数构成一个等差数列，则前9行共有 项，∴ 是数列 中的第89项，∴ 。故应填
11. 解：
，即函数的周期为8， 故 。
12. 解：由

当
当1－a＞0，即a＜1时， ；
当1－a＜0即a＞1时， 无解；
当1－a=0，即a=1时， ，相互矛盾.
故
13.解：解：(Ⅰ)由 ,得 ,得 ，
∵ = ,又 ∴ ,
∴
(Ⅱ) =
=
14.解：（Ⅰ）

记：A = , 则A= 为整数
= A (A+1) ， 得证
(Ⅱ)

15.解：(Ⅰ)在②中令x=1,有1≤f(1)≤1,故f(1)=1
(Ⅱ)由①知二次函数的关于直线x＝—1对称,且开口向上
故设此二次函数为f(x)=a(x+1)2,(a>0),∵f(1)=1,∴a=
∴
(Ⅲ)假设存在t∈R,只需x∈[1,m],就有f(x+t)≤x.
则f(x+t)≤x (x+t+1)2≤x x2＋(2t－2)x＋t2＋2t＋1≤0.
令g(x)=x2＋(2t－2)x＋t2＋2t＋1,g(x)≤0,x∈[1,m].

∴m≤1－t+2 ≤1－(－4)+2 =9
t=－4时,对任意的x∈[1,9]
恒有g(x)≤0, ∴m的最大值为9.

1、如图所示的方格纸中，正方形ABCD要向右平移2格，再向下平移2格，得到正方形A′B′C′D′，则正方形ABCD与A′B′C′D′重叠部分面积为＿＿＿＿＿＿＿＿；（每小方格的边长为1）
2、如图，△ABC为等边三角形，边长为2cm，D为BC中点，
△AEB是△ADC绕点A旋转60°得到的，则∠ABE＝＿＿＿ ＿度；BE＝＿＿＿＿。若连结DE，则△ADE为__________三角形。
3、平行四边形ABCD中，∠A+∠C=200°，则∠D=___________；
4、将一张矩形的纸对折再折，然后沿着图中的虚线剪下打开，你发现这是一个__________形；

5、当a=__________时， 可以写成两数和或差的平方；
6、不等式组2≤3x－7<8的整数解为_________________________；
7、计算 =____________________；
8、分解因式 =_______________________；
9、如图7，一块矩形场地,长为120米,宽为70米,从中留出
如图所示的宽为1米的小道,其余部分种草,则草坪的面积
为__________米2.

10、根据图填写下表

梯形个数 1 2 3 4 5 6 …… n
周长 5 8 11 14 ……

三、计算(每题4分，共计8分)
⑴ ⑵

四、分解因式。(每小题4分，共计8分)
⑴ ⑵

五、解答题 ：
1、如图，梯形ABCD中，AD‖BC，BD平分∠ABC，AE‖DC
试说明：⑴AE = DC ⑵ AB = CE 、（7分）

2、列不等式解应用题：
在黄海大道修建中，需要爆破，已知导火索燃烧的速度是每秒钟0.8 cm，人跑开的速度是每秒4米，为使人点燃导火索后能及时地跑到100米以外的安全地区，应使用的导火索至少多长？（6分）

3、如图，△ABC中，∠A=90°, ∠B的平分线交AC于D，AH、DF都垂直于BC，H、F为垂足，求证：四边形AEFD为菱形。（7分）

3、生活中因为有美丽的图案，才显得丰富多彩，以下是来自现实生活中的三个商标(图1、2、3)（6分）

⑴以上三个图中轴对称图形有____________，中心对称图形有______________；(写序号)
⑵请在图4中画出是轴对称图形但不是中心对称图形的新图案；
在图5中画出是轴对称图形又是中心对称图形的新图案。

4、平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若E、F是AC两动点，分别从A、C两点以相同的速度1cm/s向C、A运动，
（1）四边形DEBF是平行四边形吗？说明你的理由；
（2）若BD＝10cm，AC＝16cm，当运动时间t为何值时，四边形DEBF是矩形. (6分)

5、慧明中学为加强现代信息技术课教学，拟投资建一个初级计算机房和一个高级计算机房，每个计算机机房只配置1台教师用机，若干台学生用机。其中初级机房教师用机每台8000元，学生用机每台3500元；高级机房教师用机每台11500元，学生用机每台7000元。已知两机房购买计算机的总钱数相等，并且每个机房购买计算机的总钱数均不少于20万元也不超过21万元，则该校拟建的初级机房、高级机房各应有多少台计算机？（8分）