线性代数中,两个齐次方程同解的条件

方程组 A x = 0 Ax=0Ax=0 和 B x = 0 Bx=0Bx=0 同解的充要条件为两矩阵的行向量组等价，即可以互相表示。齐次线性方程组的全部解构成的集合中包括零解、且对线性运算是封闭的。该几何的最大无关组称为该方程组的基础解系，可用该基础解系表达该方程组的全部解，即通解。

基础解系的特点：一般存在且不唯一；可通过初等行变换求解基础解系；基础解系的意义在于可使用有限个解表达无穷解。

齐次线性方程组解的性质

1、齐次线性方程组有非零解的充要条件是r(A)

2、若x是齐次线性方程组的一个解，则kx也是它的解，其中k是任意常数。

3、若x1,x2是齐次线性方程组的两个解，则x1+x2也是它的解。

4、对齐次线性方程组，若r(A)=r

两个齐次线性方程组的系数矩阵行等价，即 AX=0与BX=0同解，所以可以有相同的极大无关组，也就是有相同的基础解系。

Ax=0的基础解系所含向量个数是n-r(A)，Bx=0的基础解系所含向量个数是n-r(B)，所以 n-r(A)=n-r(B)，从而 r(A)=r(B)。

简化后的方程中所有非零项的指数相等，也叫所含各项关于未知数的次数。其方程左端是含未知数的项，右端等于零。通常齐次方程是求解问题的过渡形式，化为齐次方程后便于求解。

扩展资料：

对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后，不全为零的行数r（即矩阵的秩）小于等于m（矩阵的行数），若mr，则其对应的阶梯型n-r个自由变元，这个n-r个自由变元可取任意取值，从而原方程组有非零解（无穷多个解）。

若r(A)=r=n（未知量的个数），则原方程组仅有零解，即x=0，求解结束；若r(A)=r

两个齐次方程组 AX=0 与 BX=0 同解
<=> 两个方程组的系数矩阵A与B的行向量组等价

<=> 存在可逆矩阵P, 满足 PA=B

常用必要条件: 齐次线性方程组同解, 则 系数矩阵的秩相同

齐次：
AX=0，
CX=0
由二者具有相同的解,
故两个齐次方程同解的条件二者的系数矩阵(A)与(C)化为的阶梯形矩阵完全相同.

非齐次：
AX=B
CX=D
由二者具有相同的解,
故两个非齐次方程同解的条件二者的增广矩阵(AIB)与(CID)化为的阶梯形矩阵完全相同.

线性代数-线性方程组有解的条件