怎样理解多元函数，连续与偏导存在的关系，偏导连续之间的关系

多元函数连续不是偏导存在的充分条件也不是必要条件。

而偏导连续则是更强的条件，即偏导存在且连续可以推出多元函数连续，反之不可。

下面来分析，首先大家需要了解这些定义都是人定义出来的，可以反映多元函数的部分特征。所以，只要掌握了这些定义的意义就可以看出其背后的本质，才能判断定义间的相互关系。

多元函数在某点可偏导，可是可能在这点沿不同方向的极限不同，所以不一定连续。

而连续函数的偏导是不是一定存在，这个例子在一元函数里也很常见，比如x的绝对值，在x=0的时候没有导数。

偏导连续（是偏导连续哦！而不是偏导数存在+函数连续！是偏导数存在且偏导数连续），是可以推出可微的。

而可微是很强的结论，因为可以用十分特殊的线性函数来逼近的话，很多特殊的反例就不见了，而线性函数是连续的，这由定义可以看出来。

所以，偏导存在且连续可以推出函数连续，反之不能。

反例沿用之前的反例，函数连续，但偏导不存在。

扩展资料：

x方向的偏导

设有二元函数 z=f(x,y) ，点(x0,y0)是其定义域D 内一点。把 y 固定在 y0而让 x 在 x0 有增量 △x ，相应地函数 z=f(x,y) 有增量（称为对 x 的偏增量）△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。

如果 △z 与 △x 之比当 △x→0 时的极限存在，那么此极限值称为函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)处对 x 的偏导数，记作 f'x(x0,y0)或。函数 z=f(x,y) 在(x0,y0)处对 x 的偏导数，实际上就是把 y 固定在 y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在 x0处的导数。

y方向的偏导

同样，把 x 固定在 x0，让 y 有增量 △y ，如果极限存在那么此极限称为函数 z=(x,y) 在 (x0,y0)处对 y 的偏导数。记作f'y(x0,y0)。

人们常常说的函数y=f(x)，是因变量与一个自变量之间的关系，即因变量的值只依赖于一个自变量，称为一元函数。

但在许多实际问题中往往需要研究因变量与几个自变量之间的关系，即因变量的值依赖于几个自变量。

例如，某种商品的市场需求量不仅仅与其市场价格有关，而且与消费者的收入以及这种商品的其它代用品的价格等因素有关，即决定该商品需求量的因素不止一个而是多个。要全面研究这类问题，就需要引入多元函数的概念。

参考资料：百度百科---多元函数

先回答问题：
1.多元函数连续不是偏导存在的充分条件也不是必要条件。
2.而偏导连续则是更强的条件，即偏导存在且连续可以推出多元函数连续，反之不可。

下面来分析，首先大家需要了解这些定义都是人定义出来的，可以反映多元函数的部分特征。所以，只要掌握了这些定义的意义就可以看出其背后的本质，才能判断定义间的相互关系。
定义
1.多元函数连续，f为多元函数，对于其定义域内任一聚点X，当一列{Xn}趋近于X时，f（Xn）趋近于f（X），则称f在定义域上连续。需要注意的是，这里的{Xn}是可以用任何方式趋近X的，是任何方式！！这就是很关键的一点了，后面的很多判断也是基于此。

2.多元函数偏导存在，具体定义这里不好打出来。我说一下，和一元函数十分类似的定义，把其余的元视为常量，然后求函数值之差和自变量之差的商的极限即可。这里的关键是，只在一个方向上的极限！
3.多元偏导数存在且连续，结合1.2的定义即可。
所以，由1.2定义可以看出来多元函数连续和其偏导存在是没有直接联系的。
多元函数在某点可偏导，可是可能在这点沿不同方向的极限不同，所以不一定连续。
而连续函数的偏导是不是一定存在，这个例子在一元函数里也很常见，比如x的绝对值，在x=0的时候没有导数。
而偏导连续这就很强了。我们这里引入多元函数可微的概念，具体定义叙述很麻烦。
我的理解是类似于用多元线性函数来逼近一般多元函数。
而偏导连续（是偏导连续哦！而不是偏导数存在+函数连续！是偏导数存在且偏导数连续），是可以推出可微的。（这个证明我也没有写，参见北京大学出版社的《数学分析3》作者伍胜健）
而可微是很强的结论，因为可以用十分特殊的线性函数来逼近的话，很多特殊的反例就不见了，而线性函数是连续的，这由定义可以看出来。
所以，偏导存在且连续可以推出函数连续，反之不能。
反例沿用之前的反例，函数连续，但偏导不存在。

以上，有我没有解释清楚或者没有看懂的可以追问。
谢谢观看~

【升级版答案】
偏导连续是高富帅，可以推出函数可微这个路人。函数可微这个路人可以推出函数连续和偏导存在（即可偏导）这两个吊丝。吊丝之间没有任何关系。
★一句话总结：高富帅→路人→两个吊丝★

下面是原答案。
首先有两点要说明一下。
1.偏导数存在且连续＝偏导数连续。
2.要分清函数连续和偏导数连续。可微指的是函数可微。
下面来回答问题。
1.偏导数存在与函数连续无任何必然关系。
2.偏导数连续是函数连续的充分不必要条件。
3.偏导数存在且有界是函数连续的充分不必要条件。（额外补充）（注意有界二字！）
4.偏导数连续是可微的充分不必要条件。
5.可微是偏导数存在的充分不必要条件。
6.可微是函数连续的充分不必要条件。
接着对于疑问点较多的第一点给予更详细的解释。（连续不能推出可导，这个大家都知道，我就不赘述了。）
函数连续通俗一点说，就是一元函数在曲线上没有空心点，二元函数在面上的任何一个方向上没有空心点。二元函数在某点连续要求面上的该点在其周围360°的邻域内都不存在空心。而二元函数有偏导的必要条件是该点在x轴方向和y轴方向上的邻域没有空心，充要条件即满足偏导数的极限定义式。所以，二元函数的偏导数无论是否存在，只能保证该函数在x轴与y轴方向上的连续性，无法保证该点360°邻域上的连续性，因而函数的连续也是未知的。

最后说一句不太理解点踩的人是什么想法，我说的这么直白你都看不懂吗。

口诀：

偏导连续一定可微，偏导存在不一定连续，连续不一定偏导存在，可微不一定偏导连续

我倾向于用图像理解

1.  偏导连续一定可微：可以理解成有一个n维的坐标系，既然所有的维上，函数都是可偏导且连续的，那么整体上也是可微的。

2. 偏导存在不一定连续：整体上的连续不代表在每个维度上都是可偏导的

3. 连续不一定偏导存在：同理如2

4. 可微不一定偏导连续：可微证明整体是连续的，并且一定有偏导，但是无法说明在每个维度上都是可偏导的。
   

关系图