1⼀(sinx)^3cosx的不定积分

把sinx换作cosxtanx，所有的cosx提到分子，所以原式＝∫(secx)^4dx/(tanx)^3

＝∫(secx)^2dtanx/(tanx)^3

＝∫ [1＋(tanx)^2] /(tanx)^3 dtanx

＝∫ [1/(tanx)^3＋1/tanx] dtanx

＝-2/(tanx)^2＋ln|tanx|＋C

扩展资料

不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

9、∫ tanx dx = - ln|cosx| + C = ln|secx| + C

10、∫ secx dx =ln|cot(x/2)| + C = (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C = - ln|secx - tanx| + C = ln|secx + tanx| + C

求不定积分∫dx/(sin³xcosx)
解：原式=∫(sin²x+cos²)dx/(sin³xcosx)=∫dx/(sinxcosx)+∫cosxdx/sin³x
=∫d(2x)/sin(2x)+∫d(sinx)/sin³x=ln∣tanx∣-1/(2sin²x)+C

把sinx换作cosxtanx，所有的cosx提到分子，所以原式＝∫(secx)^4dx/(tanx)^3
＝∫(secx)^2dtanx/(tanx)^3
＝∫ [1＋(tanx)^2] /(tanx)^3 dtanx
＝∫ [1/(tanx)^3＋1/tanx] dtanx
＝-2/(tanx)^2＋ln|tanx|＋C

∫dx/(sin³xcosx﹚
=∫cosxdx/(sin³xcos²x﹚
=∫dsinx/[sin³x(1-sin²x﹚]
令sinx=t，则原积分=
=∫dt/[t³(1-t²﹚]
=∫(t³+t(1-t²﹚+（1-t）]dt/[t³(1-t²﹚]
=∫dt/(1-t²﹚+∫dt/(t²）+∫dt/[t³(1+t）]
=∫dt/(1-t²﹚+∫dt/(t²）+∫[1/(t³)-1/(t²)+1/t-1/(1+t)]dt
=1/2[∫dt/(1-t﹚+∫dt/(1+t﹚]+∫[1/(t³)+1/t-1/(1+t)]dt
=﹣1/2·ln(1-sinx)-1/2·ln(1+sinx)-1/(2sin²x﹚+ln|sinx|+C

＝∫sec²x/tanxsin²xdx＝∫﹙1＋tanx﹚²/tan³xdx
令t＝tanx 原式＝∫﹙1＋t²﹚/t³dx＝ln｜t｜－1/2t²＋C＝ln｜tanx｜－1/2tan²x＋C