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试证:如果A是幂等矩阵,即A^2=A,则秩(A)+秩(A-E)=n

2024年11月19日 21:18

有1个网友回答

网友（1）：

你好，我简单证明了一下。
思路：证明n <= r(A) + r(A-E) <= n即可。
证明：
由于A^2 = A = AE,
所以 A(A-E) = 0
故r(A(A-E)) = r(0) = 0
由矩阵秩的性质：
r(A)+r(A-E) -n<= r(A(A-E)) = 0 ,
故 r(A) + r(A-E) <= n (1)

r(A) = r(-A),
r(A) + r(A-E) = r(-A) + r(A-E)>= r((-A) + (A-E))= r(-E) = n,
故r(A) + r(A-E) >=n (2)
由(1),(2)得
r(A) + r(A-E) = n
毕业好多年了，又回味了一下，希望对你有帮助~~