设l是圆x^2+y^2=4x的一周，则曲线积分∫√（x^2+y^2)ds

设曲线C是圆x²+y²=4x的一周，则对弧长的曲线积分∫√(x²+y²)ds＝？
解：由x²+y²=4x，得(x-2)²+y²=4，故曲线C是一个园心在(2，0)，半径R=2的园。
将曲线C的方程改写成参数形式：x=2(1+cos2t)，y=2sin2t；(-π/2≦t≦π/2)；
dx=-4sin2tdt，dy=4cos2tdt；ds=√[16(sin²2t+cos²2t)]dt=4dt；
于是得[C]∫√(x²+y²)ds=[-π/2，π/2]∫√[4(1+cos2t)²+4sin²2t)][4dt]
=[-π/2，π/2]8∫√(2+2cos2t)dt=[-π/2，π/2]8(√2)∫√(1+cos2t)dt
=[-π/2，π/2]8(√2)∫√(2cos²t)dt
=[-π/2，π/2]16∫costdt=16sint∣[-π/2，π/2]=32

将曲线方程化成极坐标形式
r^2=4rcosθ
即r=4cosθ(-π/2<=θ<=π/2)
计算弧微分
ds=√(r^2+r'^2)dθ=4dθ
所以原式=∫(-π/2,π/2)r*4dθ
=∫(-π/2,π/2)4cosθ*4dθ
=32