tanx-x的等价无穷小

具体回答如下：

x→0时，e^x→1，e^(tanx-x)-1等价于tanx-x

所以e^tan-e^x等价于tanx-x

x→0时，tanx-x等价于x^n，

=lim(x→0) (tanx-x)/x^n

=lim(x→0) ((secx)^2-1)/nx^(n-1)

=lim(x→0) (tanx)^2/nx^(n-1)

=lim(x→0) x^2/nx^(n-1)

=lim(x→0) x^(3-n)/n

n=3

当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母，可以通过下面几个小方法解决：

第一：因式分解，通过约分使分母不会为零。

第二：若分母出现根号，可以配一个因子使根号去除。

第三：以上我所说的解法都是在趋向值是一个固定值的时候进行的，如果趋向于无穷，分子分母可以同时除以自变量的最高次方。（通常会用到这个定理：无穷大的倒数为无穷小）

lim(x~0)(tanx-x)/x^k

＝lim(x~0)[(secx)^2-1]/kx^(k-1)

＝lim(x~0)(tanx)^2/kx^(k-1)

~lim(x~0)x^(3-k)/k

＝A为一个常数

3-k＝0

k＝3

所以等价无穷小为x^3

扩展资料：

等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。

求极限时，使用等价无穷小的条件：

被代换的量，在取极限的时候极限值为0；

被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

设f(x)为tanx-x的等价无穷小，根据罗比达法则可知0/0型可用求导数来算，因为f(X)与tanx-x为等价无穷小，所以式子f(x)/tanx-x及其导数的结果恒为1，一直求导，直到得到式子中分母的导数在x趋于0时，分母趋于3，然后可知f'''(X)=3反导得f(x)=(X^3)/3

x³/3
三分之x的三次方。