好吧问答库 > 证明在前2n个自然数中任意取出n+1个数，其中必有2个数互质。用抽屉原理。

证明在前2n个自然数中任意取出n+1个数，其中必有2个数互质。用抽屉原理。

2024年12月02日 19:54

有3个网友回答

网友（1）：

把前2n个自然数1,2,3,4,5,6,……,2n-1,2n
分成n个组: (1,2)、(3,4)、(5,6)、……,(2n-1,2n)

在前2n个自然数（n组）中任意取出n+1个数，其中必有2个数属于同一个组，
也就是必有2个数是相邻自然数

因为两个相邻自然数的最大公约数是1
所以在前2n个自然数中任意取出n+1个数，其中必有2个数互质。

网友（2）：

首先，有一个道理是n和n+1是互质的不用证明了吧？想一下，能整除n的数去除n+1结果肯定会余1的.
然后问题就简单了，从2n个数里取n+1个数必须有两个数是挨着的。就用传说中的抽屉原理，数只分为奇数和偶数，那么选出来的所有数都不挨着只能全是奇数或偶数，但是2n个数里面一共才有n个奇数或者偶数，即使所有的奇数都选上了，那么剩下的那个必然是偶数所以会出现两个挨着数，他们是互质的。
我说明白了没？

网友（3）：

2N个数至少有N个数是2的倍数。如果取N+1个数至少有一个不是2的倍数。假设
N+1个数都不互质。即其中任两个数都有公因数1以外的质因数，因为N+1中至少有两个数是连续数。一个是质数一个是偶数，这两个数不可能有相同的质因数。所以这两个数肯定互质。