如图，BD平分角ABC，角BAD+角C等于180度，求证AD等于CD

过点D做DE⊥BE，与BA的延长线相交于点E，再做DF⊥BC，交BC于点F

∵BD是∠ABC的平分线

∴DE=DF（角平分线上的点到角的两边的距离相等）

∵∠BAD+∠C=90°       ∠BAD+∠EAD=90°     

∴∠EAD=∠C 

在△AED和△FCD中

    ∠DEA=∠DFC       ∠EAD=∠C     DE=DF   

∴   △AED≌△FCD

∴AD=CD

由于BD是ABC的角平分线，所以ABD=DBC，由于AB>BC，延长BC过点D作DE，ADB=BDE,DE与BC延长线交与点E由于ABD=DBE,BD=BD,ADB=BDE,所以三角形ABD与EBD全等,所以BAD=BED，AD=DE
由于BAD+BCD=180，BE是BC延长线，BCD+DCE=180,所以DCE=BAD=BED，所以三角形DCE是等腰三角形，所以DC=DE=AD，得证

证明:在BC上截取BE=BA,连接DE.
∵BE=BA;BD=BD;∠EBD=∠ABD.
∴⊿EBD≌⊿ABD(SAS),ED=AD;∠BED=∠BAD.
∵∠BAD+∠C=180º,则∠BED+∠C=180º;
又∠BED+∠DEC=180º(平角定义).
∴∠C=∠DEC,得ED=CD.
所以,AD=CD.(等量代换)

在BC上截取BF=AB，易证得 三角形ABD全等于三角形FBD

已知“角BAD+角C等于180度”，易得角DFC=角C
AD等于CD