祖冲之的约率和密率分别是正几边形求出的？

答：
（百度百科）
祖冲之给出π的两个分数形式：22/7（约率）和355/113（密率），其中密率精确到小数第7位。
他设圆的半径为1，把圆周六等分，作圆的内接正六边形，用勾股定理求出这个内接正六边形的周长；然后依次作内接十二边形，二十四边形……，至圆内接一百九十二边形时，得出它的边长和为6.282048，而圆内接正多边形的边数越多，它的边长就越接近圆的实际周长，所以此时圆周率的值为边长除以2，其近似值为3.14；并且说明这个数值比圆周率实际数值要小一些。
（维基百科）
《隋书》没有具体说明祖冲之是用什么方法计算出盈肭两数的。一般认为，祖冲之采用的是刘徽割圆术分割到24576边形，又用刘徽圆周率不等式得祖冲之著名的圆周率不等式：3.1415926<π<3.1415927 。

　他写的《缀术》一书，被收入著名的《算经十书》中，作为唐代国子监算学课本，可惜后来失传了。《隋书·律历志》留下一小段关于圆周率（π）的记载，祖冲之算出π的真值在3.1415926和3.1415927之间，相当于精确到小数第7位，简化成3.1415926，成为当时世界上最先进的成就。祖冲之入选世界纪录协会世界第一位将圆周率值计算到小数第7位的科学家，创造了中国纪协世界之最。这一纪录直到15世纪才由阿拉伯数学家卡西打破。
　　祖冲之还给出π的两个分数形式：22/7（约率）和355/113（密率），其中密率精确到小数第7位，在西方直到16世纪才由荷兰数学家奥托重新发现。祖冲之还和儿子祖暅一起圆满地利用「牟合方盖」解决了球体积的计算问题，得到正确的球体积公式。

祖冲之给出约率和密率的方法不得而知，很可能是通过3.1415926或3.1415927近似得到的。
从一个小数得到它的近似的分数可以通过把它表示成连分数来实现，例如我们把3.14写成连分数就是
3.14
=314/100
=157/50
=3+7/50
=3+1/(50/7)
=3+1/(7+1/7)
略去1/7
得到
3.14约=3+1/7=22/7

这是解不出来的，只能接近

有一本小册子《从刘徽割圆谈起》说的比较详细