极限这个概念本身就是局部性质，函数在一点a的极限只能表示a点附近的性质，所以必然是局部性。事实上如果函数f(x)在点a有极限，那么必然存在点a的一个小邻域在其上函数f(x)是有界的，在邻域之外就不能保证了。举一个简单的例子，函数f(x)=1/x,这个函数图象你肯定很熟悉了，我们知道这个函数在x=0.01处是有极限的，极限就是1/0.01=100,因此函数在0.01这个点是局部有界的，存在一个0.01的小邻域，不妨去0.005,0.015这个区间，在这个区间上函数f显然是有界的。但是去掉局部两个字就未必了，因为函数f(x)在整个实轴上不是有界的，在0点附近是趋向于无穷的。
所以说极限是局部性质，只能保证它附近而已，当你把0.01取成更小的0.00001或者更小，我把对应的小邻域也缩小就可以了，总之能找到这么一个小邻域有界，但整体来说是不可以的。
多说一点，函数极限存在则一定局部有界，但是反过来，函数局部有界，甚至函数有界，都不能保证极限的存在，你能举出例子么？不行的话我再追加回答
一楼说得很好了！ 关于他后面的提问可以参考一个函数 f（x） =sgnx
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