根号下x^2-1原函数

2024年11月14日 13:31

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∵∫√（x^2－1）dx
＝x√（x^2－1）－∫xd［√（x^2－1）］
＝x√（x^2－1）－∫x［x/√（x^2－1）］dx
＝x√（x^2－1）－∫［（x^2－1＋1）/√（x^2－1）］dx
＝x√（x^2－1）－∫√（x^2－1）dx－∫［1/√（x^2－1）］dx，

∴2∫√（x^2－1）dx
＝x√（x^2－1）－∫［1/√（x^2－1）］dx
＝x√（x^2－1）－∫｛［x＋√（x^2－1）］［1/√（x^2－1）］/［x＋√（x^2－1）］｝dx
＝x√（x^2－1）－∫｛［x/√（x^2－1）＋1］/［x＋√（x^2－1）］｝dx
＝x√（x^2－1）－∫｛1/［x＋√（x^2－1）］｝d｛［x＋√（x^2－1）］｝
＝x√（x^2－1）－ln［x＋√（x^2－1）］＋C，
∴∫√（x^2－1）dx＝（1/2）x√（x^2－1）－（1/2）ln［x＋√（x^2－1）］＋C。