ode45表示采用四阶-五阶Runge-Kutta算法，它用4阶方法提供候选解，5阶方法控制误差，是一种自适应步长（变步长）的常微分方程数值解法，其整体截断误差为(Δx)^5。解决的是Nonstiff(非刚性)常微分方程。
ode45语法：
[T,Y] = ode45(odefun,tspan,y0)
[T,Y] = ode45(odefun,tspan,y0,options)
[T,Y,TE,YE,IE] = ode45(odefun,tspan,y0,options)
sol = ode45(odefun,[t0tf],y0...)
[T,Y] = ode45(odefun,tspan,y0)
odefun 是函数句柄,可以是函数文件名,匿名函数句柄或内联函数名
tspan 是区间 [t0 tf] 或者一系列散点[t0,t1,...,tf]
y0 是初始值向量
T 返回列向量的时间点
Y 返回对应T的求解列向量
[T,Y] = ode45(odefun,tspan,y0,options)
options 是求解参数设置,可以用odeset在计算前设定误差,输出参数,事件等
[T,Y,TE,YE,IE] =ode45(odefun,tspan,y0,options)
在设置了事件参数后的对应输出
TE 事件发生时间
YE 事件发生时之答案
IE 事件函数消失时之指针i
sol =ode45(odefun,[t0 tf],y0...)
sol 结构体输出结果
如何在function里使用ode45输出值
(1) 主程式 (test.m)
边界值为 Y(1/1.5)=alpha=0 Y(1)=beta=0
用 shooting method 去解二阶 ode 的边界值问题，
解 ode 使用的指令为 ode45
(2)Function (funtest1.m)
解4 条first-order initial value problems
但a 的值是要从判断解出来的值运算後，是否有大於 1 来设定
H=0.25;
m=1.2;
si=((Y/x)^2-Y*Y'/x+(Y')^2)^0.5
if si>1
a=(si.^m-1)/(H*si)
elseif si<=1
a=0
end
参考资料：百度百科-ode45
ode45，常微分方程的数值求解。MATLAB提供了求常微分方程数值解的函数。当难以求得微分方程的解析解时，可以求其数值解。matlab ode45用法如下：
[T,Y] = ode45(odefun,tspan,y0)
[T,Y] = ode45(odefun,tspan,y0,options)
[T,Y,TE,YE,IE] = ode45(odefun,tspan,y0,options)
sol = ode45(odefun,[t0tf],y0...)
[T,Y] = ode45(odefun,tspan,y0)
odefun 是函数句柄,可以是函数文件名,匿名函数句柄或内联函数名
tspan 是区间 [t0 tf] 或者一系列散点[t0,t1,...,tf]
y0 是初始值向量
T 返回列向量的时间点
Y 返回对应T的求解列向量
[T,Y] = ode45(odefun,tspan,y0,options)
options 是求解参数设置,可以用odeset在计算前设定误差,输出参数,事件等
[T,Y,TE,YE,IE] =ode45(odefun,tspan,y0,options)
在设置了事件参数后的对应输出
TE 事件发生时间
YE 事件发生时之答案
IE 事件函数消失时之指针i
sol =ode45(odefun,[t0 tf],y0...)
sol 结构体输出结果
ode的作用
ode是Matlab专门用于解微分方程的功能函数。该求解器有变步长（variable-step）和定步长（fixed-step）两种类型。
不同类型有着不同的求解器，其中ode45求解器属于变步长的一种，采用Runge-Kutta算法；其他采用相同算法的变步长求解器还有ode23。
ode45表示采用四阶-五阶Runge-Kutta算法，它用4阶方法提供候选解，5阶方法控制误差，是一种自适应步长（变步长）的常微分方程数值解法，其整体截断误差为(Δx)^5。
解决的是Nonstiff(非刚性)常微分方程。ode45是解决数值解问题的首选方法，若长时间没结果，应该就是刚性的，可换用ode15s试试。
参考资料：百度百科——ode45
用法：
[T,Y] = ode45(odefun,tspan,y0)
1、odefun 是函数句柄，可以是函数文件名，匿名函数句柄或内联函数名。
2、tspan是区间 [t0 tf] 或者一系列散点[t0,t1,...,tf]。
3、y0是初始值向量。
4、T返回列向量的时间点。
5、Y返回对应T的求解列向量。
算例
求解高阶常微分方程：
程序：
function Testode45
tspan=[3.9 4.0]; %求解区间
y0=[8 2]; %初值
[t,x]=ode45(@odefun,tspan,y0);
plot(t,x(:,1),'-o',t,x(:,2),'-*')
legend('y1','y2')
title('y'' ''=-t*y + e^t*y'' +3sin2t')
xlabel('t')
ylabel('y')
function y=odefun(t,x)
y=zeros(2,1); % 列向量
y(1)=x(2);
y(2)=-t*x(1)+exp(t)*x(2)+3*sin(2*t); %常微分方程公式
end
end
ode45可以用来解微分方程，基本用法如下：
一、常用格式：[t,y]=ode45(odefun,tspan,y0)
参数说明：
odefun:用以表示f(t,y)的函数句柄或inline函数，t是标量，y是标量或向量。
tspan：如果是二维向量[t0,tf],表示自变量初值t0和终值tf;如果是高维向量[t0,t1,…,tn],则表示输出节点列向量。
y0:表示初始向量y0。
t：表示节点列向量(t0,t1,…,tn)T。
y: 表示数值解矩阵，每一列对应y的一个分量。
若无输出参数，则作出图形。
二、完整格式：[t,y]=ode45(odefun,tspan,y0,options,p1,p1,…)
options: 为计算参数（如精度要求）设置，默认可用空矩阵[]表示。
p1,p2,…: 为附加传递参数，这时的odefun表示f(t,y,p1,p2,…)。
注：ode45是最常用的求解微分方程的指令。它采用变步长四、五阶Runge-Kutta-Felhberg法，适合高精度问题。
实例：
拓展说明：
ode23 解非刚性微分方程，低精度，使用Runge-Kutta法的二三阶算法。
ode45 解非刚性微分方程，中等精度，使用Runge-Kutta法的四五阶算法。
ode113 解非刚性微分方程，变精度变阶次Adams-Bashforth-Moulton PECE算法。
ode23t 解中等刚性微分方程，使用自由内插法的梯形法则。
ode15s 解刚性微分方程，使用可变阶次的数值微分（NDFs）算法。
ode23s 解刚性微分方程，低阶方法，使用修正的Rosenbrock公式。
ode23tb 解刚性微分方程，低阶方法，使用TR-BDF2方法，即Runger-Kutta公式的第一级采用梯形法则，第二级采用Gear法。
3.6.2 龙格- 库塔方法
改进的欧拉法比欧拉法精度高的原因在于，它在确定平均斜率时，多取了一个点的斜
率值。这样，如果我们在[Xi,X(i+1)]上多取几个点的斜率值，然后对它们作线性组合得到平均
斜率，则有可能构造出精度更高的计算方法。这就是龙格-库塔法的基本思想。龙格-库塔
法可看作是欧拉法思想的提高，属于精度较高的单步法。
龙格-库塔法是求解常微分方程初值问题的最重要的方法之一。MATLAB中提供了几
个采用龙格-库塔法来求解常微分方程的函数，即ode23，ode45，ode113 ，ode23s ，ode15s
等，其中最常用的函数是 ode23( 二三阶龙格-库塔函数)和ode45( 四五阶龙格-库塔函数)，
下面分别对它们进行介绍。
1 ．二三阶龙格- 库塔函数(ode23)
函数 ode23 的调用格式如下：
(1) [T,Y]=ODE23('F',TSPAN,Y0) 输入参数中的'F' 是一个字符串，表示微分方程的形
式，也可以是 f (x , y )的M 文件。TSPAN=[T0 TFINAL]表示积分区间，Y0表示初始条件。
函数 ode23 表示在初始条件 Y0下从 T0到TFINAL 对微分方程 '(,) yFty = 进行积分。函数
F(T, Y) 必须返回一列向量，两个输出参数是列向量 T 与矩阵 Y，其中向量 T 包含估计响应
的积分点，而矩阵 Y 的行数与向量 T 的长度相等。向量 T 中的积分点不是等间距的，这是
为了保持所需的相对精度，而改变了积分算法的步长。为了获得在确定点T0,T1, "的解，
TSPAN=[T0 T1 TFINAL] 。需要注意的是：TSPAN中的点必须是单调递增或单调递减的。
(2) [T,Y]=ODE23('F',TSPAN,Y0,OPTIONS) 其中，参数 options 为积分参数，它可由函
数ODESET 来设置。Options参数最常用的是相对误差‘RelTol’( 默认值是 1e-3)和绝对误差
‘AbsTol’(默认值是 1e-6)，其他参数同上。
(3) [T,Y]=ODE23('F',TSPAN,Y0,OPTIONS,P1,P2,…) 参数P1,P2, …可直接输入到函数
F 中去．如 F(T,Y,FLAG,P1,P2,…)。如果参数 OPTIONS为空，则输入 OPTIONS=[ ]。也可
以在 ODE文件中(可参阅 ODEFILE函数)指明参数 TSPAN、Y0和OPTIONS的值。如果参
数TSPAN 或Y0 是空，则ODE23函数通过调用ODE文件[TSPAN, Y0, OPTIONS] =
F([ ],[ ], 'init ')来获得 ODE23函数没有被提供的自变量值。如果获得的自变量表示空，则函
数ODE23会忽略，此时为 ODE23('F')。
(4) [T,Y,TE,YE,IE]=ODE23('F',TSPAN,Y0,OPTIONS) 此时要求在参数 options 中的事
件属性设为'on' ，ODE文件必须被标记，以便 P(T,Y,'events') 能返回合适的信息，详细可参
阅函数 ODEFILE。输出参数中的 TE是一个列向量，矩阵 YE的行与列向量 TE中元素相
对应，向量 IE 表示解的索引。
2 ．四五阶龙格- 库塔函数(ode45)
函数 ode45 的调用格式同 ode23 相同，其差别在于内部算法不同。如果'F' 为向量函数，
则ode23 和ode45 也可用来解微分方程组。
【例3.47 】 分别用二三阶龙格-库塔法和四五阶龙格-库塔法解常微分方程的初值问题：
解：先将微分方程写成自定义函数 exam2fun.m
function f=exam2fun (x,y)
f=-y-x*y.^2;
f=f(:);
然后在命令窗口输入以下语句：
>> [x1,y1]=ode23('exam2fun',[0:0.1:1],1)
x1 =
0
0.1000
0.2000
0.3000
0.4000
0.5000
0.6000
0.7000
0.8000
0.9000
1.0000
y1 =
1.0000
0.9006
0.8046
0.7144
0.6314
0.5563
0.4892
0.4296
0.3772
0.3312
0.2910
>> [x2,y2]=ode45('exam2fun',[0:0.1:1],1)
x2 =
0
0.1000
0.2000
0.3000
0.4000
0.5000
0.6000
0.7000
0.8000
0.9000
1.0000
y2 =
1.0000
0.9006
0.8046
0.7144
0.6315
0.5563
0.4892
0.4296
0.3772
0.3312
0.2910
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